1.6三角函数模型的简单应用

现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它就可以借助三角函数来描述。新课导入1.6三角函数模型的简单应用学生能够从实际问题中发现周期性变化的规律，把发现的规律抽象为恰当的三角模型，并解决相关的实际问题。教学目标知识与能力让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力。过程与方法让学生切身感受数学建模的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用。情感态度与价值观用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题。教学重难点重点：从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型，并调动相关学科的知识来解决问题。难点：例1：如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+)+b.（2）写出这段曲线的函数解析式。（1）求这一天的最大温差；1A=(30-10)=10,21b=(30+10)=20,212ππ×=14-6ω=82ω解：（1）观察图象可知，这段时间的最大温差是20ºC。（2）从图中可以看出，从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象，所以因为点（6，10）是五点法作图中的第四点，故336,248解得故，所求函数解析式为π3πy=10sin(+)+20x[6,14]84，x例2：画出函数y=|sinx|+sinx的图象并观察其周期。解：函数图象如下：观察图象可知，函数y=|sinx|+sinx的的周期是2π。o213xy222132拓展：画出函数的图象并观察其周期。|sin()|3yxyo222211x|)3sin(|)(xxf函数的周期是例3：如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ=90º-|-δ|。当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值。如果在北京地区（纬度数约为北纬40º）的一幢高为H的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？太阳光H解：如图，A、B、C分别太阳直射北回归线、赤道、南回归线时，楼顶在地面上的投影点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度为-3º26‘，依题意两楼的间距应不小于MC。根据太阳高度角的定义，有∠C=90º-|40º-(-23º26')|=26º34'所以，'2.000tantan2634HHMCHC即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距。例4：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深的关系表：时刻水深（米）时刻水深（米）时刻水深（米）0:005.09:002.518:005.03:007.512:005.021:002.56:005.015:007.524:005.0（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）。（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图，根据图象，可以考虑用函数y=Asin(ωx+)+hA=2.5,h=5,T=12,=0;由，得2πT==12ωπω=6。解：来刻画水深与时间之间的对应关系.从数据和图象可以得出：所以，这个港口的水深与时间的关系可以近似描述为：πy=2.5sin+56x由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：时刻0:001:002:003:004:005:006:007:008:009:0010:0011:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754时刻12:0013:0014:0015:0014:0017:0018:0019:0020:0021:0022:0023:00水深5.0006.2507.1657.57.1656.2505.0003.7542.8352.5002.8353.754（2）货船需要的安全水深为4+1.5=5.5（米），所以当y≥5.5时就可以进港.令π2.5sin+5=5.56xπsin=0.26x由计算器计算可得ππ0.2014,π-0.201466或xx解得0.3848,5.6152ABxx解：化简得因为，所以有函数周期性易得[0,24]x12+0.3848=12.3848,12+5.6152=17.6152。CDxx因此，货船可以在凌晨零时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5小时左右。解：（3）设在时刻x船舶的安全水深为y，那么y=5.5-0.3(x-2)(x≥2),在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6时到7时之间两个函数图象有一个交点。通过计算可得在6时的水深约为5米，此时船舶的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时船舶的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而船舶的安全水深约为4米，因此为了安全，船舶最好在6.5时之前停止卸货，将船舶驶向较深的水域。三角函数应用模型的三种模式：一是给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题；二是给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题；三是搜集一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题。课堂小结现实问题现实模型改造三角函数模型抽象概括解析式图形三角函数模型的解数学方法还原说明现实模型的解是否符合实际修改1、一台发电机产生的交流电的电压V和时间t之间关系的图象如下图所示,则电压V和时间t之间的函数解析式为.V=536sin100πt,t∈［0,+∞)课堂练习2、如右上图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s=6sin(2πt+),那么单摆来回摆动一次所需的时间为（）π6A.2πsC.0.5sB.πsD.1sDy=f(t)3、已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记做下表是某日各时的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5y=f(t)y=Acosω+bx经长期观测，的曲线可近似地看成是函数(2)依据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，请根据（1）的结论，判断一天内的上午8：00至18：00时这段时间内，有______个小时可供冲浪爱好者进行运动。6y=Acosω+bx(1)根据以上数据，写出函数的函数表达式____________。11πy=cos+26xf(t)=Asin(ωt+)+h.f(t)+f(t+1)+f(t+2)4、如图，摩天轮的半径为50m，圆心O点距地面的高度为60m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t(min)时点P距离地面的高度（II）求证：不论t为何值时为定值。（I）求在2006min时点P距离地面的高度；ωπ2A50,h60,T3,3===\=πφ2f(t)50sin(t)603。=++πφf(0)10,2故。==-ππ2f(t)50sin(t)6032\=-+f(2006)85。=解：（I）由题意可知：即又得即点P距离地面的高度为85m。22()50sin()606050cos.323fttt()(1)(2)2226050cos6050cos(1)6050cos(2)3332222418050[coscos()cos()]333332123218050[cos()cossin323331232()cos()sin]2323ftftftttttttttttt()(1)(2)180ftftft（II）由（I）知故不论t为何值，都是定值。1、乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处。2、如CCTV-1新闻联播节目播出的周期是一天。3、可以上网下载有关人体节律的软件，利用软件就能方便地作出自己某一时间段的三条人体节律曲线，它们都是正弦型函数图象.根据曲线不难回答题中的问题。教材习题答案A组1、°°°°°(1)30;(2)135;(3)45;(4)150或150。2、45335(1);(2);(3);(4)3322244或或或。再见！