第3讲.全等三角形与角平分线问题.学生版

2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page1of15板块考试要求A级要求B级要求C级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注知识点睛中考要求第三讲全等三角形与角平分线问题2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page2of15意有时会添加辅助线．奥数赛点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．与角平分线相关的问题角平分线的两个性质：⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性．角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，3．OAOB，这种对称的图形应用得也较为普遍，POBAABOPABOP重点：本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定，全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础，也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是本章的重点，特别是几种判定方法，尤其是当在直角三角形中时，HL的判定是整个直角三角形的重点难点：本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论，要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚，哪几个是条件，决定哪个结论，如何用数学符号表示，即书写格式，都要在讲练中反复强化重、难点例题精讲2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page3of15【例1】在ABC中，D为BC边上的点，已知BADCAD，BDCD，求证：ABAC．DCBA【例2】已知ABC中，ABAC，BE、CD分别是ABC及ACB平分线．求证：CDBE．EDCBA【例3】如图，在ABC中，60B，AD、CE分别平分BAC、BCA，且AD与CE的交点为F．求证：FEFD．FBEDCA【例4】如图，已知ABC的周长是21，OB，OC分别平分ABC和ACB，ODBC于D，且3OD，求ABC的面积．ADOCB2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page4of15【补充】如图所示：ABAC，ADAE，CD、BE相交于点O．求证：OA平分DAE．ABCDEO【例5】(2006年北京中考题)已知ABC中，60A，BD、CE分别平分ABC和ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．OEDCBA【例6】如图，已知E是AC上的一点，又12，34．求证：EDEB．EDCBA43212010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page5of15【例7】(06北京中考题)如图所示，OP是AOC和BOD的平分线，OAOC，OBOD．求证：ABCD．PDBOCA【例8】如图所示，已知ABC中，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上．DECD，EFAC．求证：EF∥ABFACDEB【例9】如图所示，AD是ABC的角平分线，DE、DF分别是ABDACD和的高，20DEF，则BAC等于________．FEDCBA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page6of15【例10】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEABE于，并且1()2AEABAD，则ABCADC等于多少？EDCBA【例11】⑴(理工附中06～07学年下学期期中考试)在ABC中，96A，延长BC到D，ABC与ACD的角平分线相交于点1A，1ABC与1ACD的角平分线交于2A，…，依次类推4ABC与4ACD的角平分线交于5A，求5A大小．A2A1ABCDABCDEFG⑵(初二第5届希望杯1试)如右上图，BF是ABD的角平分线，CE是ACD角的平分线，BE与CF交于G，若140BDC，110BGC，求A的度数．【补充】(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中，AB=4，BC=7，∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB于F，则EF=__________．FEDCBA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page7of15【例12】(北京市西城区2006年抽样测试八年级(上)附加题，黄冈市数学竞赛试题)如图所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PBPC与ABAC的大小，并说明理由．DPCBA【补充】如图所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是BC的中点，求证DEAB∥且1()2DEABAC．EDCBA【补充】在ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线．P是AD上任意一点．求证：ABACPBPC．CDBPA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page8of15【例13】如图，在ABC中，2BC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：ABBDAC．DCBA【例14】如图，ABC中，ABAC，108A，BD平分ABC交AC于D点．求证：BCACCD．ABCD【巩固】已知等腰ABC，100A，ABC的平分线交AC于D，则BDADBC．2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page9of15【例15】如图所示，在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，MEAD且交AC的延长线于E，12CECD，求证2ACBB．EMDCBA【例16】如图所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFAD且交AD的延长线于F，求证12MFACAB．MFDCBA【例17】如图所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求证2ABACAM．MDCBA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page10of15【例18】如图，ABC中，ABAC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，ADBD于D，AECE于E．求证：ADAE．HGDABCE【例19】已知：AD和BE分别是ABC△的CAB∠和CBA∠的外角平分线，CDAD，CEBE，求证：⑴DEAB∥；⑵12DEABBCCA．EBADC【例20】在ABC中，MB、NC分别是三角形的外角ABE、ACF的角平分线，AMBM，ANCN垂足分别是M、N．求证：MNBC∥，12MNABACBCFENMCBA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page11of15【巩固】在ABC中，MB、NC分别是三角形的内角ABC、ACB的角平分线，AMBM，ANCN垂足分别是M、N．求证：MNBC∥，12MNABACBCNMCBA【例21】在ABC△中，CD、AE分别为AB、BC边上的高，60B∠，求证：12DEAC．CEDBA【例22】如图，180AD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上．①探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系．②探讨线段BE与CE之间的位置关系．EDCBA2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page12of15【例23】如图，在ABC中，ABAC，BD、AM分别是ABC、BAC的平分线，DNBC，GFBD．求证：14MNBF．FNMGDCBA【例24】如图所示，90BACDAE，M是BE的中点，ABAC，ADAE，求证AMCD．MECDBA【习题1】在ABC△中，3ABAC，BAC的平分线交BC于D，过B作BEAD，E为垂足，求证：ADDE．家庭作业2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page13of15CEDBA【习题2】如图，在ABC中，ABBDAC，BAC的平分线AD交BC与D．求证：2BC．DCBA【习题3】(04年山东中考题)AD是ABC的角平分线，BEAD交AD的延长线于E，EFAC∥交AB于F．求证：AFFB．DECFBA【习题4】如图所示，AD平行于BC，DAE=EAB，ABE=EBC，AD=4，BC=2，那么AB=________．【习题5】ABC中，D为BC中点，DEBC交BAC的平分线于点E，EFAB于FEGAC于G．求证：BFCG．2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page14of15EGFDCBA【备选1】(2001年河南省中考题)在ABC中，AD平分BAC，ABBDAC．求:BC的值．CDBA【备选2】如图，已知在ABC中，3ABCC，12，BEAE．求证：2ACABBE．21ECBA【备选3】如图所示，在四边形ABCD中，ADBC∥，A的平分线AE交DC于E，求证：当BE是B的平分线时，有ADBCAB．EBCDA月测备选2010年·暑假·短期班全等秘诀班·第3讲·学生版page15of15