2001年全国高中数学联赛试卷及答案

第1页共13页二○○一年全国高中数学联合竞赛题（10月4日上午8：00—9：40）题号一二三合计加试总成绩131415得分评卷人复核人学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为（A）1（B）2（C）4（D）不确定2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；以上三个命题中正确的有（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个3、在四个函数y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以为周期、在（0，2）上单调递增的偶函数是（A）y=sin|x|（B）y=cos|x|（C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx|4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是（A）k=83（B）0k≤12（C）2（D）0＜ｋ≤12或38k5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（）．（A）3333（B）3666（C）3999（D）320016．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）．（A）2枝玫瑰价格高（B）3枝康乃馨价格高（C）价格相同（D）不确定二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．8、若复数z1,z2满足|z1|=2,|z2|=3,3z1-2z2=23-I,则z1z2=。9、正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是。10、不等式232log121x的解集为。第2页共13页11、函数232xxxy的值域为。12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一场块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有种栽种方案。二、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且211ab，222ab，233ab（a1a2）,又12)(lim21nnbbb，试求{an}的首项与公差。14、设曲线C1:1222yax(a为正常数)与C2:y2=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。（1）求实数m的取值范围（用a表示）；（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0a21时，试求⊿OAP的面积的最大值（用a表示）。15、用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6、（a1a2a3a4a5a6）的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论。FABCDE第3页共13页二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题（10月4日上午10：00—12：00）学生注意：1、本试卷共有三大题，全卷满分150分。2、用圆珠笔或钢笔作答。3、解题书写不要超过装订线。4、不能使用计算器。一、（本题满分50分）如图：⊿ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N。求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE；（2）OH⊥MN。二、（本题满分50分）设xi≥0(I=1,2,3,…,n)且12112njkjkniixxjkx，求niix1的最大值与最小值。三、（本题满分50分）将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形，每个正方形的边均平行于矩形的相应边，试求这些正方形边长之和的最小值。第4页共13页2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准一．选择题：CBDDCA1.已知a为给定的实数，那么集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0，ｘ∈Ｒ｝的子集的个数为（）．Ａ．1Ｂ．2Ｃ．4Ｄ．不确定讲解：M表示方程ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ２＞0，所以Ｍ含有2个元素．故集合Ｍ有2２＝4个子集，选Ｃ．2．命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点．命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点．以上三个命题中正确的有（）．Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个Ｄ．3个讲解：由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确．对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点．因此，本题只有命题1正确，选Ｂ．3．在四个函数ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜、ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜、ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜、ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜中，以π为周期、在（0，π／2）上单调递增的偶函数是（）．Ａ．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜Ｂ．ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜Ｃ．ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜Ｄ．ｙ＝ｌｇ｜ｓｉｎｘ｜讲解：可考虑用排除法．ｙ＝ｓｉｎ｜ｘ｜不是周期函数（可通过作图判断），排除Ａ；ｙ＝ｃｏｓ｜ｘ｜的最小正周期为2π，且在（0，π／2）上是减函数，排除Ｂ；ｙ＝｜ｃｔｇｘ｜在（0，π／2）上是减函数，排除Ｃ．故应选Ｄ．4．如果满足∠ＡＢＣ＝60°，ＡＣ＝12，ＢＣ＝ｋ的△ＡＢＣ恰有一个，那么ｋ的取值范围是（）．Ａ．38kＢ．0＜ｋ≤12Ｃ．ｋ≥12Ｄ．0＜ｋ≤12或38k讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论Ｄ．说明：本题也可以通过画图直观地判断，还可以用特殊值法排除Ａ、Ｂ、Ｃ．5．若（1＋ｘ＋ｘ2）1000的展开式为ａ０＋ａ１ｘ＋ａ２ｘ２＋…＋ａ2000ｘ2000，则ａ０＋ａ3＋ａ6＋ａ9＋…＋ａ1998的值为（）．Ａ．3333Ｂ．3666Ｃ．3999Ｄ．32001讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法．取ω＝－（1／2）＋（／2）ｉ，则ω３＝1，ω２＋ω＋1＝0．令ｘ＝1，得31000＝ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａ2000；令ｘ＝ω，得0＝ａ０＋ａ1ω＋ａ2ω２＋…＋ａ2000ω2000；令ｘ＝ω２，得0＝ａ０＋ａ１ω２＋ａ２ω４＋ａ３ω６＋…＋ａ2000ω4000．三个式子相加得31000＝3（ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998）．ａ０＋ａ３＋ａ６＋…＋ａ1998＝3999，选Ｃ．第5页共13页6．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）．Ａ．2枝玫瑰价格高Ｂ．3枝康乃馨价格高Ｃ．价格相同Ｄ．不确定讲解：这是一个大小比较问题．可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为ｘ元、ｙ元，则由题设得，24362254YXYX问题转化为在条件①、②的约束下，比较2ｘ与3ｙ的大小．有以下两种解法：解法1：为了整体地使用条件①、②，令6ｘ＋3ｙ＝ａ，4ｘ＋5ｙ＝ｂ，联立解得ｘ＝（5ａ－3ｂ）／18，ｙ＝（3ｂ－2ａ）／9．ｘ－3ｙ＝…＝（11ａ－12ｂ）／9．ａ＞24，ｂ＜22，ａ－12ｂ＞11×24－12×22＝0．ｘ＞3ｙ，选Ａ．图1解法2：由不等式①、②及ｘ＞0、ｙ＞0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）．令2ｘ－3ｙ＝2ｃ，则ｃ表示直线ｌ：2ｘ－3ｙ＝2ｃ在ｘ轴上的截距．显然，当ｌ过点（3，2）时，2ｃ有最小值为0．故2ｘ－3ｙ＞0，即2ｘ＞3у，选Ａ．说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：已知函数Ｍ＝ｆ（ｘ）＝ａｘ２－ｃ满足：－4≤ｆ（1）≤－1，－1≤ｆ（2）≤5，那么ｆ（3）应满足（）．Ａ．－7≤ｆ（3）≤26Ｂ．－4≤ｆ（3）≤15Ｃ．－1≤ｆ（3）≤20Ｄ．－28／3≤ｆ（3）≤35／3（2）如果由条件①、②先分别求出ｘ、ｙ的范围，再由2ｘ－ｙ的范围得结论，容易出错．上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文［1］．二．填空题7．3328．i137213309．6610．),4()2,1()1,0(7211．),2[)23,1[12．732第6页共13页7．椭圆ρ＝1／（2－ｃｏｓθ）的短轴长等于______________．讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率ｅ和焦参数ｐ（焦点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长．解法1：由1)0(3/1)(caca得ａ＝2／3，从而ｂ＝33，故2ｂ＝332解法2：由ｅ＝ｃ／ａ＝1／2，ｐ＝ｂ2／ｃ＝1及ｂ2＝ａ2－ｃ2，得ｂ＝33．从而2ｂ＝332．说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题．．若复数ｚ１、ｚ２满足｜ｚ１｜＝2，｜ｚ３｜＝3，3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ，则ｚ１·ｚ２＝______________．讲解：参考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点，而且也不繁．令ｚ１＝2（ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα），ｚ２＝3（ｃｏｓβ＋ｉｓｉｎβ），则由3ｚ１－2ｚ２＝（3／2）－ｉ及复数相等的充要条件，得2/3)cos(cos61sin(sin6即2/3)2/)sin(()2/)sin((121)2/)sin(()2/)cos((12二式相除，得ｔｇ（α＋β）／2）＝3／2．由万能公式，得ｓｉｎ（α＋β）＝12／13，ｃｏｓ（α＋β）＝－5／13．故ｚ１·ｚ２＝6［ｃｏｓ（α＋β）＋ｉｓｉｎ（α＋β）］＝－（30／13）＋（72／13）ｉ．说明：本题也可以利用复数的几何意义解．．正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ1１的棱长为1，则直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离是______________．讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法．第7页共13页图2为了保证所作出的表示距离的线段与Ａ１Ｃ１和ＢＤ１都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内．为此，作正方体的对角面ＢＤＤ１Ｂ１，则Ａ１Ｃ１⊥面ＢＤＤ１Ｂ１，且ＢＤ１面ＢＤＤ１Ｂ１．设Ａ１Ｃ１∩Ｂ１Ｄ１＝0，在面ＢＤＤ１Ｂ１内作ＯＨ⊥ＢＤ１，垂足为Ｈ，则线段ＯＨ的长为异面直线Ａ１Ｃ１与ＢＤ１的距离．在Ｒｔ△ＢＢ１Ｄ１中，ＯＨ等于斜边ＢＤ１上高的一半，即ＯＨ＝／6．．不等式｜（1／ｌｏｇ1／2ｘ）＋2｜＞3／2的解集为______________．讲解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得ｌｏｇ1／2ｘ＜－2，或－2／7＜ｌｏｇ1／2ｘ＜0，或ｌｏｇ1／2ｘ＞0．从而ｘ＞4，或1＜ｘ＜22／7，或0＜ｘ＜1．．函数ｙ＝ｘ＋的值域为______________．讲解：先平方去掉根号．由题设得（ｙ－ｘ）２＝ｘ２－3ｘ＋2，则ｘ＝（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．由ｙ≥ｘ，得ｙ≥（ｙ２－2）／（2ｙ－3）．解得1≤ｙ＜3／2，或ｙ≥2．由于能达到下界0，所以函数的值域为［1，3／2）∪［2，＋∞）．说明：（1）参考答案在求得1≤ｙ＜3／2或ｙ≥2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要．（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试．图3．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有4种不同的植物可供选择，则有______________种栽种方案．讲解：为了叙述方便起见，我们给六块区域依次标上字母Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ．按间隔三块Ａ、Ｃ、Ｅ种植植物的种数，分以下三类．