第2章--窗口傅立叶(Fourier)变换

1第2章窗口傅立叶（Fourier）变换傅氏分析在信号分析处理中的杰出贡献，在于它将复杂的时域信号转换到频域中，时域信号和频域信号组成傅氏变换对，从而既可以在时域中分析信号，也可以在频域中更细致地作出特殊分析。但是，无论在时域或是在频域，傅氏变换都是定义在实数域R上的，它不能分析局部时域信号的局部频域特性，它没有时-频局部化的功能；换言之，它在时域中没有任何分辨，变换)(F在任何有限频段上的信息，都不足以确定在任意小的范围内的函数)(tf。本章介绍的窗口傅氏变换正是在时-频局部分析方面取得了本质性的进步。本章中关于时-频局部化的概念和表述，关于时-频窗口的含义及其度量办法，对理解小波分析的本质是有启发性的。2.1短时的时-频分析需要实际中待分析的确定性的时域信号常分为平稳信号和非平稳信号。平稳信号的变化较平缓；非平稳信号的变化急剧，甚至有突变表现。气候时间序列就是如此。对于非平稳信号，需要了解某局部段的时域信号所对应的频谱特性，也需要了解某频段的频谱表现所对应的时域表现。对空域信号的分析也是这样。在第1章1.7节的实例中，分析甘肃省秋寒潮的环流演变过程不仅需要了解整个北半球的环流背景，更需要知道甘肃省上、下游一定范围内的长波演变，如乌拉尔山阻塞高压到东亚大槽的活动，考察哪些波长的波动起主导作用，它们的兴衰和移动等。同时，把前几个波组成的合成波的高度廓线与实际的高度廓线比照，改变合成波的单波组成，使之更接近实际。总之，实际需要提出了关于短时段时域信号所对应的局部频域特性的要求，即时-频局部化的要求。传统的傅氏分析无法达到上述时-频局部化的要求。只要仔细观察分析傅氏变换的表达式RtiRtetfF,,d)()(即可明白其中的原因。一方面，傅氏变换要求提供Rttf),(的全部信息，即使截取短时段信号]2/,2/[),(TTttf，但)(F提供的是关于R的全部信息，主要反映这个短时段时域信号的那些局部频域特性却无法知道。另一方面，时域信号)(tf的局部改变会影响其)(F的全局改变，)(F在某个特定的*处的表现不可能通过局部时域信号得到，它需要提供Rttf),(的全部信息。特别值得注意的是，π21)]([,1)]([-1FFt（是)(t函数），这清楚地表明：时域中某点的局部变化会影响全局；同样，频域中的某点的局部变化也会影响到全部时域。因此，傅氏分析方法没有时-频局部化功能。2.2卷积与窗2卷积的傅氏变换对(2.2))(ˆ)(ˆπ21)()((2.1)),(ˆ)(ˆ)()(wftwtfwftwtf提供了关于时域局部化或者频域局部化的一种办法。在下面的讨论中，)(tf始终用来表示待分析的时域信号，)(ˆf是其频谱表现；)(tw表示为实现局部化所选用的时域函数(信号),也称时窗函数，)(ˆw是其相应的频谱表现；)(tw的不同选择，将会导致时域或频域中的不同的局部化效果。1．理想时窗函数及其频域表现观察式(2.2)左端以及)(tw在时域中能起到的局部化作用。为此，在时域中选择形式最简单的矩型函数)(*ttw，用)(tf)(*ttw来实现对)(tf的开窗效果,即实现在时域中的局部化效果；也可选择在时域中具有局部作用的线性样条函数(山形函数)和2次样条函数(经伸缩变化)等时窗函数,如图2.1所示。图2.13种时窗函数示意图这些时窗函数的开窗范围为],[**tttt，*t表示开窗的中心位置,t表示开窗的影响半径。形如图2.1所示的3种时窗函数，它们在时域中的支集(即定义域)是有限范围的，开窗效果在时域中)()(*ttwtf表现得非常清楚。2．对卷积的进一步理解第一，时域卷积可实现滤波。当确定滤波器)(ˆw，则在频域中的开窗（滤波）效果和应用含义都是直观的，其滤波效果可通过时域中的卷积来实现，实现过程是简单的。W第二，时域卷积可看做内积。对比它们的运算定义：内积dttwtftwtfR)()())(),((，卷积dtwftwfR)()()(，3可以看出：内积是一个具体数值；卷积具有内积形式，对于确定的τ是一个数值，对于变化的τ它是一个函数。第三，时域卷积可看做积分变换。这里将)(tw看做变换因子，原信号)(tf经积分变换后演变为一个新的函数（模拟信号）。第四，时域卷积可看做信号)(tf在t附近的局部化处理，此时的时窗函数为)(tw。2.3窗口傅氏变换的基本思想为克服傅氏变换在时-频局部化方面的不足，也为了对时域信号作局部分析，Gabor于1946年提出了窗口傅氏变换（简记为WFT）方法。WFT的数学形式为dtebtwtfbGftiR)()(),)((（2.3）其中，实函数)(tw为时窗函数。由于式（2.3）右端形式是由Gabor提出的一种积分变换，此类变换称为Gabor变换，变换结果是关于和b的函数，故用记号),)((bGf表示这种变换。WFT（即式（2.3））实现时域和频域局部化的基本思想是重要的。在时域局部化方面，它通过引进的时窗函数)(tw，使时域信号)(tf在bt附近被局部化为)()(btwtf（见图2.2）。粗略地看，WFT是在bt附近的时间窗中观察时域信号)(tf；同理，在附近的频率窗中观察频域信号)(ˆf。显然，要使WFT能用于时一频局部化分析，必须对)(tw和)(ˆw提出合适的要求。图2.2时窗函数)(tw的时域局部化表现下面举一个例子说明WFT在时一频局部化分析方面的效果和作用。这里选用)(tf和)(tw如下：2sin)(ttf.1||,0,1||,cos1)(ttttw（2.4）4信号)(tf如图2.3(a)所示,其能量密度分布2)(ˆf如图2.3（b）所示，可以看出，傅氏分析是不能表现时一频局部化特性的。)(tw的图形如图2.3（e）所示，当时窗采用)3(tw时，)3()(twtf有时域局部化表现（见图2.3（c））;)3,)((Gf的能量密度分布如图2.3(d)所示，局部频率集中在3附近。5图2.3WFT在时-频局部化方面的表现2.4时窗、频窗、时-频窗及其度量1．时窗及其度量时窗函数起着时域局部化的作用，时域信号通过形式)()(twtf只要能在某种度量标准下被局部化，)(tw就可视做时窗函数。因此，时窗函数的定义域可以是偶对称的，奇对称的，也可以是不对称的。时窗函数一般是实函数。时窗函数)(tw的开窗效果是用时窗中心)(**twtt和时窗半径)(twtt来表示。通过调整)(tw的形状使,1)(2dttwR这样，时窗函数)(btw当0b时的时窗中心和时窗半径定义为,)()()(2*2/122*dttwttdttwttRRt（2.5）在此定义下，当)(btw，0b时，时窗函数的限时作用表现为：以*t为中心的tttt**,范围，时窗宽度为2t。同样，在此定义下，对)(btw，0b的情形，利用时窗中心和时窗半径的直观几何意义，不难理解.)()(,)()(**twbtwbtwtbtwttt(2.6)事实上,利用式(2.5),有,])[()()()()(*22*btwtdxxwbxdtbtwtbtwtRR.)]([Δ)()()]([)()]([)(Δ222*22222**twdtxwttdxxwbtbxdtbtwbttbtwtRRRt2.频窗及其度量在WFT中,)(tw起着时域局部化的作用,)(ˆw起着频域局部化的作用,)(tw是时窗函数,)(ˆw是频窗函数。频域信号)(ˆf通过形式)(ˆ)(ˆwf只要在某种度量标准下被局部化,)(ˆw就可视为频窗函数。因此，频窗函数的定义域可以是有限的，也可以是复函数；它的图形)(ˆw可以是偶对称的,奇对称的,也可以是不对称的。频窗函数的开窗效果度量类似于时窗效果度量（见式（2.5））。6,)(ˆ/)(ˆ.)(ˆ/)(ˆ)(22*2/1222*dwdwdwdwRRRR（2.7）同时窗一样，频窗平移后，有,)(ˆ.)(ˆ**ww(2.8)3．时-频窗及其度量如果)(tw是时窗函数，不一定能保证)(ˆw是频窗函数；反之，如果)(ˆw是频窗函数，也不一定能保证)(tw是时窗函数。所谓窗函数)(tw，要求它不仅可做时窗函数，还要求)(ˆw能做频窗函数。这就对窗函数提出了更高的要求。一方面，)(tw是时窗函数，时窗中心*t和时窗半径t都是有限值；另一方面，)(ˆw是频窗函数，频窗中心*和频窗半径都是有限值。总之，窗函数)(tw及其频域表现)(ˆw应同时具有较强的衰减性。因此，为了实现对信号时-频局部化分析，要精心选择窗函数。窗函数的时-频局部化效果的度量应在时域和频域这两方面同时进行为宜。它的时域局部化作用被限制在时窗区间ttbtbt)(,)(**范围内，它的频域局部化作用被限制在频窗区间)()(*,*范围内。于是，可构建时-频坐标系（参见图2.4）,用时窗区间和频窗区间形成一个矩形时-频窗。时-频窗是窗函数的时-频局部化功能的几何直观的描述。另外，由式(2.6)和式(2.8)可知在WFT中，在时窗中心和频窗中心有移动的情形下，其时窗半径t和频窗半径是不会改变的。换句话说，在WFT的时-频坐标系里，任意的窗中心),(b所在的时-频窗面积为t4不变。4．Gauss窗函数取用Gauss函数的变形形式（1.17）和图1.3,即0,21)()4/(2aeatgata作为时窗函数，从图形上看，)(tga是偶对称且是快速衰减的。可以选择实常数0a来实现函数的伸缩，调整时窗的宽窄；也可以选择实常数b，使ga(t-b)实现函数平移，调整时窗的位置。因为0,41)(ˆ2aeagaa（2.9）仍是Gauss函数，也是偶对称和快速衰减的，所以)(ˆag又可作频窗函数。可以看出，其时窗中心和频窗中心为.0)](ˆ[,0)]([**aagtgt（2.10）为了计算时窗和频窗半径，要用到公式.21,23212212122dtetdtetRRt7只要)4(1a，就有.)2(241)]([212322aadttgtRa再按式（2.5）算出.)]([Δatgat同理，令ta,，即可算出).2/(1)](ˆ[Δaga于是，当采用)(btga作窗函数时，时-频窗中心坐标为),(b，时-频窗位置为]Δ,Δ[]Δ,Δ[ttbb，时-频窗面积为2)Δ2)(Δ2(tA。)(btga作为窗函数时，相应的WFT在wot相平面中的时-频窗示意图如图2.4所示。在WFT中，用)(tga作窗函数和同其它的w(t)作窗函数一样，无论时-频窗中心),(b位于何处，时-频窗总是形状相同且面积相同的。图2.4WFT时-频窗示意图5．时-频局部化举例由前面分析知，窗口傅氏变换能分析不同的局部时域信号有哪些不同的频域表现，下面以不改变窗函数的情形为例作进一步理解。图2.3所示的振动信号用相同的窗函数对不同时段开窗，就会发现在时窗中心3*t时，窗口傅氏变换结果表明频域能量集中在频域中心3*附近。同样可以推算和验证，在时窗中心移至7*t附近时，变换结果表明频域能量集中在频域中心7*附近。从时-频窗角度看，由于窗函数没有改变，所以时-频窗的形状和面积都没有发生变化，但是由于信号是非规则的，在时窗中心*t改变的同时，频窗中心*也改变了。2.5WFT反演公式任何一种积分变换，只有当它具有反演公式时，它才会有意义。相应于式（2.3）的WFT反演公式为bbtwbGfetfRRt