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温州大学拜城实验高中肖生春华罗庚说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”(1)023x;(2)0652xx;(3)062lnxx.【引例】解方程引入新课问题1观察说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系.方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数y=ax2+bx+c(a0)的图象函数的图象与x轴的交点x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-112Oxy423-112Oxy423-112Oxy两个交点(-1,0),(3,0)一个交点(1,0)没有交点思考:方程实根与对应的函数图象的关系?×结论:1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.引入新课问题2若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系,上述结论是否仍然成立?方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0方程的根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函数y=ax2+bx+c(a0)的图象函数的图象与x轴的交点x1=-1,x2=3x1=x2=1无实数根2-2-43-112Oxy423-112Oxy423-112Oxy两个交点(-1,0),(3,0)一个交点(1,0)没有交点判别式ΔΔ0Δ=0Δ0方程ax2+bx+c=0(a0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根x1x2x1(x1,0),(x2,0)(x1,0)结论:1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标.×函数零点的定义等价关系:方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点问题3函数的零点与方程的根有什么联系?对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.×注意:零点是自变量的值,而不是一个点.3,-3函数零点的定义1、函数f(x)=x(x2-16)的零点为()A.(0,0),(4,0)B.0,4C.(–4,0),(0,0),(4,0)D.–4,0,4巩固练习2、求下列函数的零点:(1)f(x)=3x+4(2)巩固练习D×求函数零点的步骤:(1)令f(x)=0(2)解方程f(x)=0(3)写出零点.第1组第2组探究3现在有两组镜头(如图),哪一组能说明她的行程一定曾渡河?函数零点存在性的探究观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象:在区间(-2,1)上有零点______;f(-2)=_______,f(1)=_______,f(-2)·f(1)_____0(“”或“”).在区间(2,4)上有零点______;f(2)=_______,f(4)=_______,f(2)·f(4)____0(“”或“”).探究:问题4:在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点?2-2-41O1-2234-3-1-1yx-1-453-35×问题5:在怎样的条件下,函数y=f(x)在区间(a,b)上存在零点?观察函数的图象并填空:①在区间[a,b]上f(a)·f(b)_____0(“”或“”).在区间(a,b)上______(有/无)零点;②在区间[b,c]上f(b)·f(c)_____0(“”或“”).在区间(b,c)上______(有/无)零点;③在区间[c,d]上f(c)·f(d)_____0(“”或””).在区间(c,d)上______(有/无)零点;有有有xyOabcd函数零点存在性的探究×xyOxyObaabcc如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.函数零点存在性定理下列函数在相应区间内是否存在零点?(1)f(x)=log2x,x∈[0.5,2];(2)f(x)=2x·ln(x-2)-3,x∈[3,5].巩固练习×如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.函数零点存在性定理:xyObacxyOabcxyObacxyOabc思考探究:下列判断是否正确,不正确的请画图举出反例。(1)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.()(2)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.()(3)已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内存在零点.()×思考探究:下列判断是否正确,不正确的请画图举出反例。(1)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.()(2)已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)·f(b)≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点.()(3)已知函数y=f(x)在区间[a,b]满足f(a)·f(b)0,则f(x)在区间(a,b)内存在零点.()abOxyabOxyabOxy图1图2图3×由表可知f(2)0,f(3)0,从而f(2)·f(3)0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数y=lnx和y=2x-6在定义域(0,+∞)内是增函数,所以函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,因此它仅有一个零点.用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表:解法1:零点存在性定理的应用:问题6:如何说明零点的唯一性?108642-2-4512346xyOx123456789f(x)-1.30691.09863.38637.79189.945912.079414.1972f(x)=lnx+2x-6-4例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数,并确定零点所在的区间[n,n+1](n∈Z).×5.6094解法2:估算f(x)在各整数处的取值的正负:解法3:将函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数转化为函数y=lnx与y=-2x+6的图象交点的个数.y=-2x+6y=lnxx1234f(x)例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数,并确定零点所在的区间[n,n+1](n∈Z).-+6Ox1234y零点存在性定理的应用:×+-但在确定区间的时候,由于画图,不够精确,容易带来错误,所以多用在判断零点个数上.x1234567f(x)239–711–5–12–26那么函数在区间[1,6]上的零点至少有()个A.5个B.4个C.3个D.2个2、函数f(x)=–x3–3x+5的零点所在的大致区间为()A.(–2,0)B.(1,2)C.(0,1)D.(0,0.5)CB1、已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下对应值表:零点存在性定理的应用:巩固练习×函数零点与方程根的关系:函数方程零点根函数方程思想;数形结合思想.求函数零点、确定零点个数、求零点所在区间.课堂小结×一个关系:三种题型:两种思想:学习课题:知识归纳与整理:渗透那些数学思想方法:我的收获与困惑:自我评价:悄悄话:老师我想对你说——年——月——日星期——天气——
本文标题:方程的根与函数的零点(用的)
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