第四章4-弯曲切应力

材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力1§4-5梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件§4-6梁的合理设计§I-3惯性矩和惯性积的平行移轴公式·组合截面的惯性矩和惯性积第4章3弯曲应力2材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力2§4-5梁横截面上的切应力·梁的切应力强度条件I.梁横截面上的切应力1.矩形截面梁从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。hbzyO材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力3由于m-m和n-n上的弯矩不相等，故两截面上对应点处的弯曲正应力s1和s2不相等。因此，从微段中用距离中性层为y且平行于它的纵截面AA1B1B假想地截出的体积元素mB1(图a及图b)，其两个端面mm'A1A上与正应力对应的法向内力F*N1和F*N1也不相等。材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力4*111*1N***dddzzAzAzASIMAyIMAIMyAFs*112*N2dddd)d(d***zzAzAzASIMMAyIMMAyIMMAFs它们分别为式中，为面积A*(图b)对中性轴z的静矩；A*为横截面上距中性轴z为y的横线AA1和BB1以外部分的面积(图b中的阴影线部分)。*d1*AzAyS材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力50xF*N1*N2SdFFF*SddzzSIMF即由于，故纵截面AA1B1B上有切向内力dF'S(图b)：*1N*2NFF材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力6为确定离中性轴z为y的这个纵截面上与切向内力dF'S对应的切应力t'，先分析横截面与该纵截面的交线AA1处横截面上切应力t的情况：材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力71.由于梁的侧面为自由表面(图a和图b中的面mABn为梁的侧表面的一部分)，其上无切应力，故根据切应力互等定理可知，横截面上侧边处的切应力必与侧边平行；2.对称弯曲时，对称轴y处的切应力必沿y轴方向，亦即与侧边平行。材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力8从而对于狭长矩形截面可以假设：1.横截面上各点处的切应力均与侧边平行；2.横截面上距中性轴等远处的切应力大小相等。zyy材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力9于是根据切应力互等定理可知，距中性层为y的纵截面AA1B1B上在与横截面的交线AA1处各点的切应力t'均与横截面正交，且大小相等。至于t'在dx长度内可以认为没有变化。这也就是认为，纵截面AA1B1B上的切应力t'在该纵截面范围内是没有变化的。于是有xbFddSt材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力10根据切应力互等定理可知，梁的横截面上距中性轴z的距离为y处的切应力t必与t'互等，从而亦有以上式代入前已得出的式子*SddzzSIMFbISFzz*StxbFddStbISFbISxMzzzz*S*ddt得材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力11矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式式中，FS为横截面上的剪力；Iz为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩，。*d1*AzAyS上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。bISFzz*Stzyy材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力12横截面上切应力的变化规律前已讲到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力t在与中性轴垂直方向的变化规律。上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定的量，Iz和b也是一定的，可见t沿截面高度(即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩Sz*与坐标y之间的关系确定。bISFzz*St材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力13222111*42dd*yhbybyAySAhyz22S22S4242yhIFyhbbIFzztbhdy1yyzOy1材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力14AFbhFbhhFIhFz23231288SS32S2Smaxt可见：1.t沿截面高度系按二次抛物线规律变化；2.同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0):22S42yhIFzt材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力横截面上的切应力合成剪力横截面上的剪力产生切应力材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力关于切应力的两点假设目标：距离中性轴为y的直线上各点切应力计算公式?yt距中性轴等远的各点处切应力大小相等。材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力1、在AC段取长为dx的微段FsMPPPa材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力2、分析微段上的应力zIMy1szIydMM)(2s材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力3、切开微段分析材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力4、分析微段的平衡条件0)('12tsFFF材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力dAFA122s5、计算右侧截面正应力形成的合力11)(AzdAIydMM11)(AzdAyIdMM*)(ZSIdMMz同理*1ZSIMFz材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力zbISdxdMZ*'t6、微元体的平衡方程0'12bdxFFt*2)(ZSIdMMFz*1ZSIMFz0'*bdxSIdMZztzsbISFZ*'t材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力zsbISFZ*'t距离中性轴为y的直线上点的切应力计算公式7、切应力计算公式zsybISFZ*t材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力zsybISFZ*t各项的物理意义1、Fs欲求切应力的点所在截面的剪力；2、Iz欲求切应力的点所在截面对中性轴的惯性矩；3、b欲求切应力的点处截面的宽度；4、Sz*横截面上距离中性轴为y的横线以外部分的面积A1对中性轴的静矩。16281448208012020材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力AFS238切应力分布规律maxt切应力沿截面高度按抛物线规律变化。中性轴处最大正应力所在的点材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力工字形截面梁切应力沿高度的分布规律τmaxzsybISFZ*t计算公式切应力危险点中性轴处fsAFmaxt最大切应力腹板上的切应力呈抛物线变化；腹板部分的切应力合力占总剪力的95~97%。材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力工字形截面的翼缘)(zt翼缘部分的水平切应力沿翼缘宽度按直线规律变化；翼缘部分的切应力强度计算时一般不予考虑。并与腹板部分的竖向剪力形成“剪应力流”。)(ytsF材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力T形截面梁切应力沿高度的分布规律zsybISFZ*t计算公式中性轴处τmaxT形截面梁切应力流)(ytsF材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力圆形截面梁切应力的分布规律1、边缘上各点的切应力与圆周相切。AB不能假设总切应力与剪力同向；sF2、同一高度各点的切应力汇交于一点。材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力中性轴处τmaxAFs34maxt3、竖直分量沿截面宽度均匀分布；圆形截面梁切应力沿高度的分布规律zsybISFZ*t计算公式沿高度呈抛物线规律变化。yt材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力tmax=2.0FsA圆环截面的最大切应力zymaxtsF材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力切应力的危险点能否说：“切应力的最大值一定发生在中性轴上”？当中性轴附近有尺寸突变时最大切应力不发生在中性轴上；当中性轴附近没有尺寸突变时最大切应力发生在中性轴上；材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力33某空心矩形截面梁，分别按图a及图b两种方式由四块木板胶合而成。试求在横力弯曲时每一胶合方式下胶合缝上的切应力。梁的横截面上剪力FS已知。并比较哪种胶合方式较合理？例题4-12材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力341.图a所示胶合方式，以底板为分离体，由平衡条件，得zzaIhbFIhbF4222SStbdxtt*1NF*2NF(c)zy例题4-12解:材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力35图b所示胶合方式下，由图可知：zzbIhbFIhbF422222SStb-2tt*1NF*2NF(d)zy例题4-12材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力36zazbIhbFIhbF442SStt因此，图b所示胶合方式更合理。例题4-12材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力372.工字形截面梁22*22222222yhdhbyyhdyhhbSz(1)腹板上的切应力dISFzz*St其中材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力38可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次抛物线规律变化。材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力39(2)在腹板与翼缘交界处：在中性轴处：thbdIFz2Smin2S*max,Smax222thdhbdIFdISFzzz材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力40对于轧制的工字钢，上式中的就是型钢表中给出的比值，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。*max,zzSIxxSI材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力41(3)翼缘上的切应力翼缘横截面上平行于剪力FS的切应力在其上、下边缘处为零(因为翼缘的上、下表面无切应力)，可见翼缘横截面上其它各处平行于FS的切应力不可能大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力FS的90%以上。材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力42但是，如果从长为dx的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力和不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力t1′构成的合力。*N1F*N2F*N1*N2SdFFFudxA*自由边1t1t*1NF*2NF材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力43根据可得出xFdd1St从而由切应力互等定理可知，翼缘横截面上距自由边为u处有平行于翼缘横截面边长的切应力t1，而且它是随u按线性规律变化的。thuIFhuIFISFzzzz222*1SSSudxA*自由边1t1t*1NF*2NF材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力44思考题:试通过分析说明，图a中所示上、下翼缘左半部分和右半部分横截面上与腹板横截面上的切应力指向是正确的，即它们构成了“切应力流”。材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力•例矩形截面的简支梁受均布荷载作用，σ，τ分别表示横截面上的正应力和剪应力，•以下结论中错误的是：•A）在A点处，σ=0，τ=0•B）在B点处，σ=0，τ=0•C）在C点处，σ=0，τ=0•D）在D点处，σ=0，τ=0ABCDqL/2L/2D答：材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力ABCDqL/2L/2Q）M）ABCD材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力例a、b、c是T形截面梁某截面（存在剪力和弯矩）上的三个点，问下列结论哪些是正确的？1)σa=σb2)σa=σc3)σb≠σc4)σb=-σa5)τb=τc答：4）、5）zyyycba形心材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力例a、b、c是矩形截面梁某截面（存在剪力和弯矩）上的三个点，问下列结论哪些是正确的？1)τa=τb2)τa≠τc3)τb≠τc4)σa=σc5)σb=-σc答：1）、5）zyyyabc材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力例矩形截面简支梁，l=10m，b=100mm，h=200mmm，P=40kN。求m-m截面上距中性轴y=50mm处的剪应力和梁中的最大剪应力，并作m-m截面上剪应力分布图。ABlPzybyhommxτmax=1.5MPa20kN20kNQ)材料力学(Ⅰ)电子教案弯曲应力IZ=b