《计算机数值方法教学课件》第四章-有限差分法的基本概念

第四章有限差分法的基本概念§4.1引言§4.2导数的差分近似方法§4.3差分方程§4.4显式和隐式差分格式§4.5差分格式的基本性质§4.6数值耗散与数值色散§4.1引言(1)离散化概念bxf(x)axx+△x(),[,]yfxxab1iixax()iiyfx计算域控制方程离散点代数方程组(2)离散化网格§4.1引言1nnttt1iixxxxit1tntNxt(i,n)x0x1xIt0…………Pdiscretegrids0ixxix0nttnt(,)niniUxtU复杂外形网格生成(2)离散化网格§4.1引言(3)离散化过程网格生成L(u)=0B(u)=0I(u)=0,,()0nijku,,()nijku0,,()ijkgu§4.1引言(4)有限数值模型计算域离散化因变量离散分布反映同一的物理特性和信息分析离散带来的伪物理效应§4.1引言(4)有限数值模型§4.1引言偏微分方程的离散方法：有限差分法FiniteDifferenceMethod（FDM）有限体积法FiniteVolumeMethod（FVM）有限元法FiniteElementMethod（FEM）谱方法SpectralMethod…………(5)有限差分法ux()0LU,,()0nijkuux～～微商差商微分方程差分方程§4.1引言向前差分（前差）(5)有限差分法向后差分（后差）中心差分（中心差）§4.1引言～11iiiiuuxx～11iiiiuuxx～1111iiiiuuxxxi+1xuxi-1xiABCux离散对象：离散方法：离散结果：偏微分方程和定解条件差商取代微商有限节点值的有限个代数方程组的数值解(5)有限差分法§4.1引言基本问题：①判断方程的类型，选择合适的差分离散方法；②对解域的选取和网格划分；③方程和定解条件的离散，构造逼近微分方程定解问题的差分方程；④解的合理性研究。(5)有限差分法§4.1引言解的精度:数值解的误差估计；解的收敛性及收敛速度:与偏微分方程的一致性；解的稳定性：对误差传播的敏感程度；解的结构研究：逼近真实解的形式。基本问题：④解的合理性研究：差分余项效应数值耗散数值色散(5)有限差分法§4.1引言§4.2导数的差分近似方法泰勒级数展开法待定系数法差分算子法(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数232123()26iiiiiuuuuxuxxxxx截断误差1()nniiuuxx一阶精度P1,1in,1in1,1in1,in,in1,in1,1in,1in1,1in一阶精度1()nnniiiuuuxxxxt空间前差(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数P1,1in,1in1,1in1,in,in1,in1,1in,1in1,1in1()nnniiiuuuttt时间前差一阶精度xt(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数P1,1in,1in1,1in1,in,in1,in1,1in,1in1,1in一阶精度空间后差1()nnniiiuuuxxxxt(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数P1,1in,1in1,1in1,in,in1,in1,1in,1in1,1in一阶精度时间后差1()nnniiiuuutttxt(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数P1,1in,1in1,1in1,in,in1,in1,1in,1in1,1in211()2nnniiiuuuxxx二阶精度空间中心差分xt(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法二阶偏导数21,11,11,11,122[(),()]4ijijijijuuuuuxyxyxy21,,1,2222[()]ijijijuuuuxxx2,1,,12222[()]ijijijuuuuyyyP1,1ij,1ij1,1ij1,ij,ij1,ij1,1ij,1ij1,1ij二阶精度空间中心差分xy(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法二阶偏导数21,,1,2222[()]ijijijuuuuxxxP1,1ij,1ij1,1ij1,ij,ij1,ij1,1ij,1ij1,1ij二阶精度空间中心差分xy(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法二阶偏导数2,1,,12222[()]ijijijuuuuyyyP1,1ij,1ij1,1ij1,ij,ij1,ij1,1ij,1ij1,1ij二阶精度空间中心差分xy(1)泰勒级数展开法§4.2导数的差分近似方法二阶偏导数21,11,11,11,1224[(),()]ijijijijuuuuuxyxyxy(2)待定系数法§4.2导数的差分近似方法32113()26iiuuuuxxxx4211288()12iiiiuuuuuxxx21234()2iiiuuuuxxx四阶精度五点中心差二阶精度三点后差二阶精度三点中心差P1,1in,1in1,1in1,in,in1,in1,1in,1in1,1in2,1in2,in2,1in二阶精度空间三点后差xt(1)待定系数法§4.2导数的差分近似方法一阶偏导数21234()2iiiuuuuxxx(3)差分算子法§4.2导数的差分近似方法移位算子E:前差算子△:后差算子▽:中心差算子微分算子D:δ:()()Efxfxx()()()(1)fxfxxfxEf1()()()(1)fxfxfxxEf1122()()()()22xxfxfxfxEEf()dfDfxdx§4.2导数的差分近似方法(3)差分算子法例1:△＝▽E例2:2323()()12!3!xDxxEexDDD例3:Dand△Dand▽Dandδ231()23Dx231()23Dx42221()()12Dx(3)差分算子法应用：1、构造高阶差分格式；2、求解截断误差。习题：P1154.6§4.2导数的差分近似方法§4.3差分方程2,,,,EDD()0LU,,()0nijku偏微分方程代数方程组1)判断控制方程数学性质；2)网格生成；3)控制方程初始条件边界条件代数方程组；§4.3差分方程4)求解代数方程组；5)解的合理性分析:相容性收敛性稳定性网格效应差分余项效应伪物理效应宏观特性微观特性§4.3差分方程22;(0,)(1,)100;(,0)0,01.uutxututuxx差分离散FTCS（时间前差空间中心差分格式）:11122()nnnnniiiiiuuuuutx§4.3差分方程12242112224()2()212nnnnnnniiiiiiiuuuuutuxuuutxtxtx微分方程差分方程截断误差2[,()]tx0,(0)uuaatx110nnnniiiiuuuuatx时间前差空间后差格式（FTBS）110nnnniiiiuuuuatx时间前差空间前差格式（FTFS）……§4.3差分方程0,(0)uuaatx……时间前差空间中心差分格式（Lax-Wendroff格式）121111222nnnnnnniiiiiiiuuuuatauuutxx……§4.3差分方程0,(0)uuaatx110nnnniiiiuuuuatx11(1),nnniiiuuuatx时间前差空间后差格式（FTBS）§4.3差分方程相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异？0,(0)uuaatx问题：§4.3差分方程01,[0.5,0.5];(,0)0,[0.5,0.5][1,1]uutxxuxxxperiodicboundary精确解：1,[0.5,0.5];(,)0,[0.5,0.5][1,1]xtuxtxtxtperiodicboundary计算域：1,1x§4.3差分方程0,(0)uuaatx110nnnniiiiuuuuatxFTBS格式：FTFS格式：110nnnniiiiuuuuatx§4.3差分方程FTFS格式01,[0.5,0.5];(,0)0,[0.5,0.5][1,1]uutxxuxxxperiodicboundary11(1)nnniiiuuutx§4.3差分方程FTBS格式11(1)nnniiiuuutx01,[0.5,0.5];(,0)0,[0.5,0.5][1,1]uutxxuxxxperiodicboundary§4.3差分方程现象：一阶精度FTFS格式的数值解发散，导致计算无法运行下去。§4.3差分方程0,(0)uuaatx110nnnniiiiuuuuatxFTBS格式：FTFS格式：110nnnniiiiuuuuatx§4.3差分方程0,(0)uuaatx特征线:const.xatQxiXi+1xi-1P(xi，tn+1)tn+1tnPQuu§4.3差分方程0,(0)uuaatxi-1ii+1xa差分方向FTBS:差分方程应能正确反映与原微分方程相同的物理性质和信息。§4.3差分方程相同网格步长下的不同差分格式的数值解有何差异？0,(0)uuaatx同一差分格式下的不同时间步长的数值解有何差异？问题：§4.3差分方程0,(0)uuaatx110nnnniiiiuuuuatx11(1),nnniiiuuuatx时间前差空间后差格式（FTBS）0.81.07和§4.3差分方程FTBS格式01,[0.5,0.5];(,0)0,[0.5,0.5][1,1]uutxxuxxxperiodicboundary0.811(1)nnniiiuuutx§4.3差分方程FTBS格式11(1)nnniiiuuutx01,[0.5,0.5];(,0)0,[0.5,0.5][1,1]uutxxuxxxperiodicboundary1.07§4.3差分方程现象：一阶精度FTBS格式的时间步长受计算稳定性限制。§4.3差分方