线性代数总复习-做题技巧公式大全

nnjiA×=)(*A一、伴随矩阵1*)(det−=AAA(A可逆时)EAAAAA)(det**==(一般情形)⎪⎩⎪⎨⎧−−===1rank,01rank,1rank,rank*nnnnAAAA定式二、A=βαT，α和β是n维列向量且αTβ=d≠0AA1T1TT)()(−−===kkkkdαβαββα1rank=A))()((TTββαβββαβd===A)1rankrank1(≤≤≤βAA的非零特征值为d，对应的特征向量为β；0为A的n-1重特征值。Ax=0的基础解系含n-1个线性无关的特征向量；或直接计算得1))(()det(−−−=−nλλdλEAA相似于对角矩阵)0,,0,diag(Ld1)2)3)4)5)设A为m×n矩阵，m≤Arank；n≤Arank1)2)若A≠O，则rankA0;3)；AArankrankT=4)=)rank(Aλ⎩⎨⎧0rank≠λ，A00=λ，三、矩阵的秩的有关结果6)，AABrank)rank(≤；BABrank)rank(≤5)；BABArankrank)rank(+≤+7)若A可逆，则rank(AB)=rankB;rank(CA)=rankC;设A为m×n矩阵，且AB=O，则n≤+BArankrank9)B为n×s矩阵，10)设A为n阶方阵，则⎪⎩⎪⎨⎧−−===1rank,01rank,1rank,rank*nnnnAAAA11)Arank=A的行向量组的秩=A的列向量组的秩8)；AAAAArank)rank()rank(TT==四、向量组的有关性质1)向量组与它的任一个极大无关组等价。3)设向量组T1的秩为r，向量组T2的秩为s，若T1可由T2线性表示，则。sr≤4)等价的向量组有相同的秩。如果T1线性无关，且T1可由T2线性表示。则；sr≤2)设向量组T1含r个向量，向量组T2含s个向量，如果，sr则T1线性相关。五、线性方程组的有关结论设系数矩阵nmija×=)(A；r=Arank，0≠b右端向量增广矩阵。),(ˆbAA=，),,,(21nαααL=bAx=AArankˆrank=⇔⇐m=Arank⇐时0det≠A⇔b可由nααα,,,21L线性表示⇔nααα,,,21L向量组与b,,,,21nαααL等价1)有解nm=0=Ax必有解bAx=n=Arank⇔时0det≠A⇔nααα,,,21L线性无关2)有解时nm=0=Ax只有零解)(1)解唯一⇔(nArank⇔时0det=A⇔nααα,,,21L线性相关nm=0=Ax有非零解)(2)无穷多解⇔((3)0=Ax的解向量构成向量空间，其维数为Arank−n②若bAx=的解向量不构成向量空间。(4)①若21ηη，是bAx=的解，则21ηη−是的解；0=Axη是bAx=的解，ξ是的解，0=Ax则的解。tηη,,1L是bAx=ξη+③若是bAx=的解，则是bAx=的解。ttkkηη++L11)1(1=++tkkL的基础解系，(5)0=Ax的通解为++=2211ξξttxrnrnt−−+ξL其中rn−ξξξ,,,21L是0=Axrnttt−,,,21L任取。(6)bAx=的通解为++=11*ξηtxrnrntt−−++ξξL22其中*η是bAx=的特解，rn−ξξξ,,,21L的基础解系，是0=Axrnttt−,,,21L任取。，BA⎯⎯→⎯↔jirr；BAE=),(ji若则，DA⎯⎯⎯→⎯↔jicc；DAE=),(ji若则，BA⎯⎯→⎯×kir；BAE=))((ki若则，DA⎯⎯→⎯×kic；DAE=))((ki若则，BA⎯⎯→⎯+jikrr；BAE=))(,(kji若则，DA⎯⎯⎯→⎯+ijkcc。DAE=))(,(kji若则六、初等矩阵。，),()),((1),(det1jijijiEEE=−=−。，))1(())(((0))((det1kikikkiEEE=≠=−。，))(,())(,((1))(,(det1kjikjikji−==−EEE七、A是正交矩阵EAAAA==TTT1AA=−1det±=AAT,A-1,A*,Ak均为正交矩阵A的列(或行)向量是两两正交的单位向量。当B也为正交矩阵时，AB是正交矩阵。当k=±1时，kA也是正交矩阵。八、特征值与特征向量1．已知x是A的特征向量，列出；xAxλ=2．已知λ0是A的特征值，列出。0)det(0=−EAλ则nnnaaa+++=+++LL221121λλλAdet21=nλλλLTAλAlλlx1−Aλ1x*AλAdetx)(Af)(λfxkAkλxAPP1−λxP1−Aλx4．与A有关矩阵的特征值和特征向量5．不同特征值对应的特征向量线性无关。矩阵特征值特征向量的特征值，nλλλ，，，L21nnija×=)(A3．设是6．A的各行(列)元素之和为a。⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛111111MMaA(或⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛111111TMMaA)7．向量α是齐次线性方程组0=Ax的解向量，则α是A对应特征值0的特征向量。8.已知求A的可能特征值。则A的特征值满足，0)(=λf，OA=)(f九、A是实对称矩阵AA=T4．存在正交矩阵Q,使得⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==−nλλλO21T1AQQAQQ1．特征值均为实数。2．不同的特征值对应的特征向量正交。3．必可相似于对角矩阵。十、A是正定矩阵AA=T(实对称矩阵)4．存在正交矩阵Q,使得，⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==−nλλλO21T1AQQAQQ0iλ2．特征值均大于零。3．顺序主子式均大于零。1．对任意0≠x都有。0TAxx十二、AB=On≤+BArankrank①B的列向量是0=Ax的解向量。(A,B均为n阶方阵)②BArankrank=十三、A与B等价特例：A与En等价，n=Arank0det≠A)(BPAQBA=≅：十一、已知f(A)=O①用待定法求逆矩阵1−A或1)(−+EA②求A的部分特征值：A的特征值满足。0)(=λf等;BArankrank=BAdetdet=)det()det(EBEAλλ−=−十四、A与B相似A与B有相同的特征值BArankrank=十五、A与B合同当A对称时B也对称实对称矩阵A与B的正负惯性指数相同)~(1BAPPBA=−：)~(TBAPPBA=−：十六、等价、相似与合同的关系特征值相同且可对角化特征值不同但正、负及零特征值个数相同1.一般方阵⇒等价相似⇒等价合同⇒相似2.实对称矩阵特征值相同⇒相似且合同⇒不相似但合同其它情形⇒不相似不合同十七、有关概念的关系A无零特征值）（0det≠A设A为n阶方阵⇔⇔A可逆A非奇异A满秩(AB=BA=E)(rankA=n)A的列(行)向量组线性无关⇔Ax=0只有零解⇔Ax=b有唯一解⇔⇔⇔A能表示为一些初等矩阵的乘积※