2018-2019学年上海市青浦一中高二第二学期期中数学试题(解析版)

第1页共14页2018-2019学年上海市青浦一中高二第二学期期中数学试题一、单选题1．已知圆锥的底面半径是1，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（）A．2πB．3πC．4πD．5π【答案】B【解析】先根据侧面展开图计算出圆锥的母线长，由此计算出侧面积，再加上底面积得到圆锥的表面积.【详解】设圆锥母线长为l，由于侧面展开图是半圆，故π2π1,2ll，故侧面积为21π22π2，底面积为2π1π，所以表面积为2ππ3π.故选B.【点睛】本小题主要考查圆锥的侧面展开图有关计算，考查圆锥的表面积计算，属于基础题.2．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．16【答案】D【解析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【详解】根据正六边形的性质，则D1﹣A1ABB1，D1﹣A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有2×4=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，第2页共14页故有8+4+4=16故选：D．【点睛】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题．3．已知不同的直线,mn，不同的平面,，则下列命题正确的是()①若m，n，则mn；②若m，m，则；③若m，mn，则n；④若m，n，，则mn.A．②④B．②③C．③④D．①②【答案】A【解析】【详解】①若m，n，则,mn位置关系不定；③若m，mn，则n，位置关系不定；②若m，则,//lml，因为m，所以l，②正确④因为m，n，所以m，n分别为,一个法向量，因为，所以mn，④正确，选A.4．如图，正方体1111ABCDABCD的棱长为1，E，F是线段11BD上的两个动点，且22EF，则下列结论错误．．的是（）A．ACBFB．直线AE、BF所成的角为定值C．EF∥平面ABCDD．三棱锥ABEF的体积为定值【答案】B【解析】【详解】在A中，∵正方体1111ABCDABCD第3页共14页∴AC⊥BD，AC⊥1BB，∵BD∩1BB=B，∴AC⊥平面11BDDB，∵BF⊂平面11BDDB，∴AC⊥BF，故A正确；在B中，异面直线AE、BF所成的角不为定值，因为当F与1B重合时，令上底面顶点为O，点E与O重合，则此时两异面直线所成的角是1AAO;当E与1D重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是1OBC，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值.故B错误在C中，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；在D中，∵AC⊥平面11BDDB，∴A到平面BEF的距离不变，∵B到EF的距离为1，22EF,∴△BEF的面积不变，∴三棱锥A-BEF的体积为定值，故D正确；点睛：解决此类题型的关键是结合空间点线面的位置关系一一检验.二、填空题5．直线与平面所成角的范围______．【答案】0,2【解析】由直线与平面所成角的定义可得.【详解】解：根据直线与平面所成角的定义可得直线与平面所成角的范围为0,2【点睛】本题考查直线和平面所成的角基本概念.6．已知(1,4,2),(2,1,3)ab，则ab____．【答案】35【解析】利用空间向量的坐标运算法则求出ab，由此能求出结果.第4页共14页【详解】解：∵(1,4,2),(2,1,3)ab∴=1,3,5ab∴22213535ab故答案为：35.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模，熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.7．已知直线l的一个方向向量(4,3,1)d，平面的一个法向量(,3,5)nm，且//l，则m____【答案】1【解析】由题意可得，根据线面平行可得dn，则=0dn，进而得到4950m，解得即可.【详解】解：由题意可得dn，则4950m解得1m【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.8．在正方体1111ABCDABCD中，异面直线1AB与AD所成的角大小为___．【答案】2【解析】由题意可得，AD平面11ABBA，从而得到1ADAB，即可得到答案.【详解】解：在正方体1111ABCDABCD中，第5页共14页∵AD平面11ABBA，1AB平面11ABBA∴1ADAB∴异面直线1AB与AD所成的角的大小为2故答案为：2.【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，线面垂直的性质定理.9．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30，则该圆锥的侧面积为_．【答案】50【解析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论.【详解】解：设底面的半径为r，则sin3010=5r∴该圆锥的侧面积510=50S故答案为：50【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.10．二面角l为60，异面直线a、b分别垂直于、，则a与b所成角的大小是____【答案】60【解析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a、b分别垂直于、两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角l为60，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】第6页共14页解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线a、b的夹角为∵二面角l为60，异面直线a、b分别垂直于、则两条直线的夹角和二面角相等或互补，∴60故答案为：60【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.11．下列四个结论中假命题的序号是_____．①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足//ab，bc，则ac；④若直线a，b是异面直线，则与a，b都相交的两条直线是异面直线．【答案】①④【解析】根据空间中线面的位置关系的判定和性质或举反例即可判断.【详解】解：对于①，若l，则内任意两条直线都与l垂直，显然命题①是假命题；对于②，由平行公理可知命题②是真命题；对于③，将直线a平移到b的位置，由于bc，故而ac，故命题③是真命题；对于④，在直线a上取P点，在直线b上取点A，B，则PA，PB都与a，b相交，显然PA，PB相交，故命题④是假命题.故答案为：①④【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系和性质，熟练掌握直线与平面之间的位置关系是解决此题的关键.12．互不重合的三个平面可以把空间分成_____个部分【答案】4、6、7、8【解析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；五种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】第7页共14页解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分；若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行(联想三棱柱三个侧面的关系)，则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点(联想墙角三个墙面的关系)，则可将空间分为8部分；故互不重合的三个平面可以把空间分成4、6、7、8个部分.【点睛】本题以平面分空间的分类讨论为载体，考查了空间中平面与平面之间的位置关系，考查了学生的空间想象能力.13．已知四面体ABCD中，2ABCD，E，F分别为BC，AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为3，则EF____.【答案】1或3【解析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EO＝FO＝1，πEOF3，或2πEOF3，由此能求出EF．【详解】取BD中点O，连结EO、FO，∵四面体ABCD中，AB＝CD＝2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为π3，∴EO∥CD，且EO1CD12，FO∥AB，且FO1AB21，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴πEOF3，或2πEOF3，当∠EOFπ3时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当2πEOF3时，EF2212π1111cos323．故答案为：1或3．第8页共14页【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题14．设地球半径为R，若A、B两地均位于北纬45，且两地所在纬度圈上的弧长为24R，则A、B之间的球面距离是_____（结果用含有R的代数式表示）【答案】3R【解析】由题意可得：北纬45圈的半径是22R，并且得到ABR，所以A、B两地所在的球心角为60，即可得出答案.【详解】解：由题意可得：北纬45圈的半径是22R∵在北纬45圈上有A、B两地，它们在纬度圈上的弧长等于24R∴过A、B两点的小圆的圆心角为90，即ABR∴A、B两地所在的球心角为60∴A、B两地间的球面距离为3R故答案为：3R.【点睛】第9页共14页本题考查球面距离及相关计算，解决此类问题的关键是熟练掌握球面距离以及解三角形的有关知识，考查学生的计算能力与想象能力.15．已知三棱锥P-ABC，若PA，PB，PC两两互相垂直，且12PAPBPC，，D为面ABC上的动点，则PD的最小值为___．【答案】23【解析】根据题意利用等体积法计算P点到平面ABC的距离，即为PD的最小值.【详解】解：∵PA，PB，PC两两互相垂直，且1PAPB，=2PC∴25ABACBC，∴C点到AB的距离为322∴ABC的面积为13232=222设点P到平面ABC的距离为h，则11131123232h∴23h即PD的最小值为23故答案为：23【点睛】本题考查了点、线、面间的距离计算，考查了等体积法.16．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为_______。【答案】334【解析】由题意可得，当截面与正方体体对角线垂直并且平面平移至截面为正六边形时，则截此正方体所得截面的面积最大，即可求出面积最大值.【详解】解：如图，由题可知，截面应与正方体体对角线1BD垂直，当平面平移至截面为六边形时，此时六边形的周长恒等不变，所以当截面为正六边形时，面积最大.第10页共14页max232336424EFGHMNS六边形骣琪琪=创=琪琪桫【点睛】本题考查了立体图形的截面问题，考查了学生的空间想象能力.三、解答题17．如图，在长方体1111ABCDABCD中，已知4ABBC，DD18，M为棱11CD的中点．（1）求四棱锥MABCD的体积；（2）求直线BM与平面11BCCB所成角的正切值．【答案】(1)1283(2)510【解析】（1）根据长方体的性质，点M到平面ABCD的距离就是1DD，再根据四棱锥的体积公式即可解得.（2）联结1BC，BM，可证得直线BM与平面11BCCB所成角就是MBC1，根据111MCtanMBCBC即可求得.【详解】（1）因为长方体1111ABCDABCD，所以点M到平面ABCD的距离就是DD18，第11页共14页故四棱锥MABCD的体积为MABCDVABCDSDD=1112833．（2）联结1BC，BM，因为长方体1111ABCDABCD，且MCD11，所以MC1平面11BCCB，故直线BM与平面11BCCB所成角就是MBC1