论文泰勒级数的收敛域及分析性质

本科毕业论文题目：函数mxxf1的泰勒级数的收敛域及分析性质学院：数学与计算机科学学院班级：数学与应用数学2007级6班姓名：张彩霞指导教师：何美职称：副教授完成日期：2011年5月18日函数mxxf1的泰勒级数的收敛域及分析性质摘要：本文主要讨论了二项式级数xxf1（,2,1,0）的收敛区间端点的敛散性，和它推广后所得的形如mxxf1（m为正有理数且,2,1,0）的泰勒级数的收敛域及其函数mxxf1（m为正有理数且,2,1,0）的泰勒级数逐项微分、逐项积分后所得级数的收敛域.由于推广后的函数mxxf1（m为正有理数且,2,1,0）的泰勒级数的收敛半径相同，所以本文重点旨在对收敛区间端点的讨论，进而得到有规律的收敛域.这样我们在以后遇到此类形式的函数的泰勒级数时，便能根据具体的m,，很快写出其收敛域，而不需要再对其收敛区间端点的敛散性进行分析.关键词：泰勒级数；逐项微分；逐项积分；收敛区间；收敛域.目录1预备理论..................................................................................................................11.1幂级数理论....................................................................................................11.2函数的幂级数展开理论................................................................................21.3超越几何级数的收敛域................................................................................32函数mxxf1（m为正有理数且,2,1,0）的泰勒级数收敛域.......32.1函数xxf1的泰勒级数及其收敛域................................................32.2函数mxxf1（m为正整数且,2,1,0）的泰勒级数及其收敛域........................................................................................................................52.3函数mxxf1（m为正有理数且,2,1,0）的泰勒级数及其收敛域........................................................................................................................63函数mxxf1（m为正有理数且,2,1,0）的泰勒级数的分析性质.83.1函数mxxf1（m为正有理数且,2,1,0）的泰勒级数的可微性质........................................................................................................................83.1.1函数xxf1的泰勒级数的可微性质.....................................83.1.2函数mxxf1（m为正整数且,2,1,0）的泰勒级数的可微性质.............................................................................................................83.1.3函数mxxf1（m为正有理数且,2,1,0）的泰勒级数的可微性质.............................................................................................................93.2函数mxxf1（m为正有理数且,2,1,0）的泰勒级数的可积性质........................................................................................................................93.2.1函数xxf1的泰勒级数的可积性质.....................................93.2.2函数mxxf1（m为正整数且,2,1,0）的泰勒级数的可积性质...........................................................................................................103.2.3函数mxxf1（m为正有理数且,2,1,0）的泰勒级数的可积性质...........................................................................................................11参考文献.....................................................................................................................13谢辞.........................................................................................................................15-1-1预备理论1.1幂级数理论定义11形如nnnnnxxaxxaxxaaxxa)()()()(020201000的函数级数称为幂级数，其中,,,,,210naaaa为常数，称为幂级数的系数.这是一类最简单的函数项级数。本文将着重讨论00x，即幂级数)1(22100nnnnnxaxaxaaxa的情形.以及幂级数1在收敛域内逐项求导后得到的幂级数)2(321232111nnnnnxnaxaxaaxna与幂级数1在收敛域内逐项积分后得到的幂级数)3(132113221001nnnnnxnaxaxaxaxna定理11(阿贝尔定理)1)若幂级数1在00xx收敛,则幂级数1在0:xxx都绝对收敛.2)若幂级数1在1xx发散,则幂级数1在1:xxx都发散.由此定理知道：幂级数1的收敛域时以原点为中心的区间.若以R2表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径，其实它就是使得幂级数1收敛的那些收敛点的绝对值的上确界.注：当Rx时，幂级数1可能收敛也可能发散.我们称RR,为幂级数1的收敛区间.定理12对于幂级数1，即0nnnnxa，若laannn1limlannnlim，则幂级数1的收敛半径-2-.,0,0,,0,1llllR定理13幂级数1与幂级数2，3具有相同的收敛区间.注：虽然幂级数1、2、3的收敛半径相等，但是它的收敛域不一定相同.定理14设幂级数1在收敛区间RR,上的和函数为xf,若x为RR,内任意一点，则（i）xf在x可导，且11'nnnxnaxf；（ii）xf在0与x这个区间上可积，且1001nnnxxnadttf.此定理说明幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积.1.2函数的幂级数展开理论若函数xf在0xx处存在任意阶的导数，这时称形式为nnxxnxfxxxfxxxfxf00200000!!2'''4的级数为函数xf在0x的泰勒级数.对于级数4能否在0x附近确切地表达xf，或说xf在0x的泰勒级数在0x附近的和函数是否就是xf，有如下定理5定理15设xf在点0x具有任意阶导数，那么xf在区间rxrx00,内等于它的泰勒级数的和函数的充要条件是：对一切满足不等式rxx0的x，有0limxRnn这里xRn是xf在0x的泰勒公式余项.如果xf能在0x的某领域上等于其泰勒级数的和函数，则称函数xf在0x的这一领域内可以展开成泰勒级数，并称等式nnxxnxfxxxfxxxfxfxf00200000!!2'''的右边为xf在0xx处得泰勒展开式，或称幂级数展开式.-3-定理16（幂级数展开式的惟一性）若函数xf在0x的某邻域内可展为幂级数nnnxxaxf00则其系数!0nxfann,2,1,0n这里规定00,1!0xff在实际应用在中，主要讨论函数在00x处的展开式，这时4式可写成nnxnfxfxff!0!20''0'02称之为麦克劳林级数.1.3超越几何级数的收敛域对于超越几何级数2nnxnnnnxF111!11111,,,的敛散性情况如下表1：1x绝对收敛1x发散1x00绝对收敛发散1x0101绝对收敛条件收敛发散2函数mxxf1（m为正有理数且,2,1,0）的泰勒级数收敛域2.1函数xxf1的泰勒级数及其收敛域当为正整数时，由二项式定理直接展开，就得到xf的展开式.（所以在下面的探讨中都是假定,2,1,0）因为,2,1,111nxnxfnn从而有,2,1,110nnfn-4-于是，xf的麦克劳林级数是.!11!2112nxnnxx5令nnxnnu!11则运用比式判别法，xxnnuunnnn1limlim1可得级数5的收敛半径1R.现在1,1内考察它的柯西余项.10,111!111xxxnnxRnnn运用比式判别法，级数10!1nnxnn当1x时收敛，故有0!1lim1nnxnn又由于1x有11x，且1110x，从而有111nx.再当1x时，有1112110xx.于是当1时，11x是与n无关的有界量；当1时，也有同样结论.