13-投影矩阵与Moore-Penrose逆

第十三讲投影矩阵与Moore-Penrose逆一、投影与投影矩阵设L，M为的子空间并构成直和nCnLMLMC.即nxC，唯一的yL,zM使x=y+z称y为x沿着M到L的投影。1.定义：将任意变为其沿着M到L的投影的变换称为沿着M到L的投影算子，记为即nxCL,MPL,MPxyLL,M,投影算子是线性变换，其矩阵称为投影矩阵,仍记为P。2.充要条件引理：设n阶方阵E为幂等矩阵，则N(E)R(IE)证明：2nEEE(IE)OxC,E[(IE)x]E[R(IE)]0R(IE)N(E)xN(E),另一方面，Ex00即，则xIxOIxEx(IE)xRIENERIENERIE（）（）（）（）（）定理：n阶方程P成为投影矩阵的充要条件是P为幂等矩阵。证明：充分性2nPP,xC,yPxR(P),z(IP)xRIPNP令（）（）。若确为投影矩阵，下面证之RPNPRPNP0,PP（）,（）（）（）则xR(P)N(P),一方面，因nxR(P),uCxPu存在使1142xN(P),Px0.PxPuPuxR(P)N(P)0x0另一方面即但。nL,MPPxCyL,zM必要性故，唯一分解使xyzPxy且x22PxPyyPxPPyy0任意3.投影矩阵的构造设已知的子空间L、M构成直和nCnLMC,下面构造。L,MP取L的一个基(设L为r维子空间)，M的一个基（则M的维数为n-r）。由直和关系知x,xx12rry,yy12ny,yy12nx,xx12rr；即构成的一个基。故，如令nC12rXx,xx，12nrYy,yy则[XY]为可逆方阵。另一方面iL,MiiiL,MixLPxx;yMPy0即1L,ML,MPXYXOPXOXY可见，的秩为r（L,MPL,ML,MrankPdimRPdimL（）（））二、正交投影算子与正交投影矩阵L为的子空间，其正交补空间nCnLxxy0,xC,yL（，）（无特别声明取Hxy）1.定义：设L是nC的子空间，则称沿着L到L的投影算子L,LP为正交投影算子，简记为LP。正交投影算子的矩阵称为正交投影矩阵，仍记为LP。1152.充要条件：n阶方阵P为正交投影矩阵的充要条件是P为幂等的厄米矩阵。证明：首先证明两个引理:（1）对n阶方阵A，nxC均有HxAx0则A=0，（2）N（）=HPRP（）(1)证明：设A=Tijnn(i)(a)x0010第个取则HiixAxa0TijiiHiijjjjiiijijjiijjiijijjix000000ija0xAxaa1,aa0aa0A1,1,aa0取再，，，，（），注意到，则则统一考虑即则0HHHnHH2xN(P),Px0xP0yCxPy0yxRPNPRP（）证明：即，（）由的任意性，知（）（）（）另一方面，设nHHxR(P)yC,x(Py)0xP0即均有HHHPx0xN(P)N(P)R(P)所以N（）=HPRP（）现在证明该充要条件。充分性：H2HRpNpRpRpNpRpRpPPPPPPPPP（），（）（）（），（）（），（），必要性：LnPPxC,yPxL,z(I-P)xLxyz可唯一地分解成使xHHHHyL,zLyz0xP(IP)x0P(IP)0任意又HHHHHHPPP(PP)(P)P，为厄米矩阵。P116117幂等已由上一定理得知。3.正交投影矩阵的构造设L的一个基为，L12rx,xx的一个基为12nry,yy。则Hijxy0令，12rXx,xx12nrYy,yy则HXY01H1(A(AA)A)H11HHL11HHHHHHHHHHH1H1HHPXOXYXOXYXYXYXXXYXX0XXOXYXOYXYY0YYYXX(XX)OX(XX)XY三、投影矩阵与广义逆矩阵R(A),N(AX)R(XA),N(A)RAHRXAH(i)AXAAAXPiiXAXXXAPAXAAAXP(AX)AXXAXXXAP(XA)XA（）（）（）Moore定义：设mnnmRARXAAC,XCAXPXAP（）（）且，则X为A的Moore广义矩阵。事实上，Moore广义矩阵正是†A作业P2961、4