多项式插值理论

第六章多项式插值理论一、区间[a,b]上的一般插值理论(从有限维子空间出发的逼近方法)①对无限维函数空间的一个元素f(x)进行逼近，关于f(x)的情况仅知道一部分(1、若干点的函数值或导数值已知；2、满足一些控制方程)②选择一个由固定基函数张成的有限维函数子空间基函数性质:、线性无关、完备的条件、满足基本的函数已知321③选择nX中的元素)()(~xPxfn或，在一定的约束条件下，使)(~xf良好的逼近xf,即令)(~xf=nnccc2211关于xf在插值区间上有不大的误差（包括一定的光滑性逼近）。④良好逼近的判断ff~e.g.Tchebycheff范数，||f||=|)(|maxxfbxa称为一致逼近。⑤约束条件:（依据对xf的了解来确定）i/插值约束)()(~iixfxf1niix(a,b)且ix互不相同；ii/插值与光滑性混合约束(1)、)()(~iixfxf1kiix(a,b)且ix互不相同(2)、)()(~iixfxf1kiix(a,b)且互不相同(3)、)(~xf的二阶导数存在iii/变分约束（以下两种约束不再具有严格的插值含义，这里可能仅知道被插函数满足某些控制方程）依据||f-f~||在nX中为最小的条件，即确定常数nccc21,使f~的解由下列形式的极小化问题得到：||f-0f~||=min{||f-f~||：f~nX}Note：这里的||·||不局限于切比雪夫范数和2－范数，可能是某种内积定义的范数；这也是固体力学求近似解的基本方法（如，有限元就是能量的变分）。iv/正交约束根据f-f~与n个给定基函数)(,),(),(21xxxn的正交条件，确定常数：ic,1ni。即f-f~,0)()](~)([dxxxfxfibai1ninnSpanX,,,21这是Galerkin方法的基础。Note:1）、约束条件可组合使用，如在有限元的计算中，构造位移形状函数时，应用插值或光滑性约束条件与变分约束的组合。2）、仅对插值约束问题，实际构成求解下列方程组：)()()()()()()()(221111212111nnnnnnnnxfcxcxcxxfcxcxcx3）、若选取Xn=Span{nxxx,,,,12}则称为Lagrange多项式插值。二、Lagrange多项式插值1、多项式插值的一般定理Weierstrass（维尔斯托拉斯）定理：设[a,b]为任意给定的闭区间，为任意小常数，f(x)为[a,b]上的任意连续函数，则必存在一定的多项式Pn(x)使得,||f-Pn||，||·||为切比雪夫型范数。Bernstein（伯恩斯坦）给出下列nP形式，可对任意连续函数f(x)进行一致逼近。knknknxxhnkfknxP)1()()(0；nabh（等距离配点）感兴趣的问题：①若节点x0，x1,……,xn不断增多，Pn的阶次也随之增大，在保证n，xPxfn时，使逼近的光滑性变差，多项式出现“摆振”特性，从而使计算性质劣化，故一般不要选得阶次太高。②在不改变节点数n的情况下，可改变节点位置的配置，使得在一定范数条件下，获得对f(x)的最佳逼近。例如选择n个有规则的不等距配点，可使2210bnnafxPxdx2、Lagrange插值定理f(x)Pn(x)在n+1个不相等的实数nxxx10上，取被规定值的n次多项式Pn(x)是存在且唯一的。意思是说，不论你用什么多项式形式或各种方法构造逼近函数，结果都是唯一的，都可化为统一的形式。这样，就有Lagrange插值的标准基函数（CanonicalBaseFunction）:011001101()()()()()()()()()()()()()()()()()()nniiiiiniiiiiiiininpfxlxxxxxxxxxwxlxxxwxxxxxxxxxwxxxxxxx①第i个基函数在xi点取值为1，在xj(j≠i)的点取值为0，即②在区间[a,b]上为n次多项式。③Pn为基函数的线性组合，其系数为被插函数在型值点的函数值。（仅有典则基有此性质）。④nlll,,,10称为n次多项式线性空间上的典则基。⑤还有许多多项式基函数，如{1，x,…xn}（并不满足插值系数就是函数点值的性质）；再如：正交多项式基：Legender或Tchebycheff基等。正交多项式可类比Euchilid几何空间上的正交坐标轴，在那里几何上的正交性是自然的；在函数空间中的正交多项式是指在内积定义下的正交性，如带权正交基函数定义为：jijidxbajiji0,⑥计算时如何选择基，则依据对计算的方便和高精度少运算量的原则来决定；在插值时用典则基比较方便。注意：这里并不是分片插值基函数，而是全域上的；分片插值见下段。3、误差估计（包括这种误差估计式）4、分段拉氏插值有上节所述，多项式在整个区间[a,b]上插值，随着节点的增多（n→∞,h→0）会使逼近函数的图形产生激烈的起落（也与型值有关）。这是不希望的，克服的办法采用分段插值，li(x)1x0x1x2x3x4x5x6jijixlijji01)(即:mmmmmmmmmmmmmmmxxxxaxaaxxxxaxaaxxxxaxaaxS213322221221010或00223232()()()()()()()()()()mimiimiimmimmiimmimfxlxxxxSxfxlxxxxfxlxxxx常用的m=1分段线性插值：M=2分段二次插值：Note:不保证节点导数的存在。5、有限元常用的在标准区间上的插值形式：在区间[xi+1，xi+2]上，作标准变换[-1，1]12212iiiikkkixxhhdxlxx12112121ll11121kkl2111kkk-11l11l2在标准区间[-1，1]上，作函数插值：21kkkilxfS函数的近似积分：11221dhsdxxfixxii三、Hermite（埃尔米特）插值1、区间[a,b]上满足插值与光滑性约束的插值约束条件：bfbPbfbPafaPafaP由拉氏插值定理可以得到如下启迪：①能唯一构造一个三次多项式：332210)(xaxaxaaxp②可以写成一种典则基形式：)()()()()()()()()(21112010xbpxapxbpxapxp其中，x1=a,x2=b时，x为区间[a,b]上的三次多项式，且2100211100j,i)x()x()x(j,i)x(ijiijijiijji（这里的i,j指的是区间的两端点）寻找方法：)(0xi在节点（边界点）上的要求类似于)(xli，但要是三次多项式且还要满足前两个条件，故可选：20()()()iixaxblx易验证：00()0;()0()ijijxxij于是选择常数a,b满足：2()()1()[()2()()]0iiiiiiiiiiaxblxlxalxaxblx(i=j)jijiiiiiixxxxl)x(lxb)x(la212同理可得：)(1xi留作作业。最终，2221221132203210)()()()()())(()()()](2)[()()()()](2)[()()(babxaxxbabxaxxabxbabaxxbaxababxx唯一性证明略.2、拉格朗日分段线性插值在节点处改进为一阶导函数连续的Hermite插值。该问题实际上是上述Hermite插值的简单推广，只要取[a,b]为[xi+1,xi+2]即可。由此获得分段的Hermite插值多项式。该插值是在每个节点有两个参数，即f(xi+1)及f′(xi+1)情况下得到的，同时具有节点一阶导数连续的内嵌性。3、有限元常用的标准区间上的Hermite插值①在节点坐标系上，x轴的原点在梁的第一个节点，x轴的正向指向第二个节点，元素长度为l，即在[0,l]上做Hermite插值。在[0，l]上：2322123211322032102)(2)(3)(2)(31lxlxlxlxxlxlxlxlx在[-1，1]上：42212211332013101181118132413241N))((N))((N)(N)(423221111210NxfNxfNxfNxfxfxf)(Siiiikkikkki211()()(1)2ikkkkkxxll（亚参元）4、在节点上仅已知函数值（即不知导数值）情况下的Hermite插值方法可以很多，但三次多项式是唯一的。举例一种：220111()()()kkkkkksxrxqx（r1,r2,q1,q2）可以这样来选择：()()iiSxfxf为被插函数1≤i≤4即：243211iixxxxxx，联立方程求解后获得被插函数的系数。这样的插值存在且唯一。该例说明，不一定梁元问题必须选节点导数作未知参数。5、保证节点高阶导数一致的Hermite插值（略）四、多变量函数的逼近1、几点基本认识多变量函数逼近的一般理论要落后很多，许多提法简单；很重要的问题，尚未获得很好的解决。在一个随机网格上（二维区域Ω，随机存在p0，p1，….，pn个不同的节点）寻找一个关于x,y变量都是n次的多项式p(x,y)，满足下列插值约束：niy,xppfpPiiiiin0P(x,y)具有以下形式：P(x,y)=nj,ijiijyxa0其解存在，但不保证解的唯一性。在随机网格上构成光滑（即可微）的分片拉格朗日插值函数，分片埃尔米特插值函数，有些情况下可能不存在。关键在于配置节点pi，以及分片插值函数在各片的边界上如何连续，为构成光滑的逼近函数，节点的配置必须具有某种规律性。（一般为矩形网格或三角形网格）2、矩形网格上的拉格朗日逼近函数设Ωdyc,bxa:y,xR2dyyycbxxxamynx1010::拉格朗日插值：设：次多项式次多项式mmiylnnixlii0:ˆ0:ˆ其中：mkiylnkixlikkiikki,0)(ˆ,0)(ˆ则：)(ˆ)(ˆ,,,00ylxllyxlyxfyxpjiijmjniijii是一个x方向n次，y方向m次的多项式，其满足插值条件：p(xi,yi)=f(xi,yi)0≤i≤n;0≤j≤m而且是唯一的，ijl(x,y)在工程上称为形状函数，在数学上称为基函数。3、分片拉格朗日多项式：将x方向和y方向的分片拉格朗日多项式的基函数相乘，再称以常数并求和可构成二维情况的分片拉格朗日多项式。若x,y方向的分片多项式的次数相同，则得到矩形域上的分片双线性、分片双二次等拉格朗日多项式。即：njniijjiy,xy,xfy,xS00对于双线性分片插值，则