2.4.2等比数列的性质课件(人教A版必修5)

栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列2．4.2等比数列的性质栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列学习导航预习目标重点难点重点：等比数列的性质及应用．难点：等比数列与等差数列的综合应用．等比数列――→理解概念及其通项公式――→掌握等比数列的性质――→应用解决相应问题栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列新知初探·思维启动等比数列的性质若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1)an＝amqn－m(m，n∈N*)；(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q,k∈N*),则am·an＝ap·aq＝____________；(3){c·an}(c是非零常数)是公比为_______的等比数列；a2kq栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列(4){|an|}是公比为_______的等比数列；(5)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为__________的等比数列．做一做已知{an}为等比数列，a2a7＝1，则a3a6＝________.答案：1|q|q1·q2栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列典题例证·技法归纳题型一等比数列的性质等比数列{an}中，an＞0，a3·a6＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8等于()A．128B．36C．20D．10题型探究例1栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列【解析】a3·a6＝32，a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝32，log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a3·a6)4＝20.【答案】C【名师点评】性质的运用技巧(1)利用性质，整体求值，在简化运算的过程中有重要的作用．(2)巧妙地利用am·an＝a(m＋n＝2p，m，n，p∈N*)可简化解题过程．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列变式训练1．(2010·高考大纲全国卷Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B．7C．6D．42栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列解析：选A.∵{an}成等比数列且an＞0，∴a24＝a1a7，a25＝a2a8，a26＝a3a9.∴a24a25a26＝a1a7a2a8a3a9＝a1a2a3·a7a8a9＝50.∴a4a5a6＝52.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列题型二等比数列中的设元技巧有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列,且它们之和为12，求这四个数．例2【解】法一：设前三个数为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216，∴a3＝216.∴a＝6.因此前三个数为6q，6,6q.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列由题意第4个数为12q－6.∴6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为14(4－d)2，由题意14(4－d)2·(4－d)·4＝216，解得4－d＝6.∴d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列【名师点评】(1)三个数成等比数列，常设为aq，a，aq(a≠0)．(2)四个数成等比数列，常设为a，aq，aq2，aq3，而不设为aq3，aq，aq，aq3，这样设会因等比数列的公比为q2而失根．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列变式训练2．已知三个数成等比数列，它们的积为27,它们的平方和为91，求这三个数．解：设三个数依次为a，aq，aq2，由题意知a·aq·aq2＝27a2＋a2q2＋a2q4＝91，∴aq3＝27a21＋q2＋q4＝91，栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列即aq＝3a21＋q2＋q4＝91，得q21＋q2＋q4＝991，得9q4－82q2＋9＝0，即得q2＝9或q2＝19，∴q＝±3或q＝±13，栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列若q＝3，则a1＝1；若q＝－3，则a1＝－1；若q＝13，则a1＝9；若q＝－13，则a1＝－9.故这三个数为：1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列题型三等比数列的实际应用(本题满分10分)从盛满a(a＞1)升纯酒精的容器里倒了1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？若a＝2，则至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?例3栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列【思路点拨】本题可设第n次操作后的浓度为an，第n＋1次操作后的浓度为an＋1，根据题意可得到an＋1＝an(1－1a)．【解】设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－1a，设操作n次后溶液的浓度为an，则操作n＋1次后溶液的浓度为an＋1＝an1－1a.4分栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列∴{an}是以a1＝1－1a为首项，公比为q＝1－1a的等比数列.6分∴an＝a1qn－1＝1－1an，即第n次操作后酒精的浓度是1－1an.8分当a＝2时，由an＝12n＜110，解得n≥4.故至少应操作4次后才能使酒精浓度小于10%.10分栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列名师微博建立递推关系.这是本题关键点，也是易误点.【名师点评】求解此类问题应先把实际问题转化为等比数列问题，在建立等比数列模型后，运算中往往要运用指数运算等，要注意运算的准确性，对于近似计算问题，答案要符合题设中实际问题的需要．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列备选例题1．实数等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.解:法一:由条件得a7·q－4＋a7＋a7q4＝28，a7·q－5·a7·a7·q5＝512，①②由②得a37＝512，∴a7＝8.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列将其代入①得2q8－5q4＋2＝0.解之，得q4＝12或q4＝2，即q＝±412或q＝±42.法二：∵a3a11＝a2a12＝a27，∴a37＝512.∴a7＝8.∴a3＋a11＝20，a3a11＝64.∴a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根．栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列解此方程得x＝4或x＝16.∴a3＝4a11＝16或a3＝16，a11＝4.又a11＝a3·q11－3＝a3·q8，∴q＝±a11a318＝±418＝±42或q＝±1418＝±142.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列解：设这四个数分别为a、aq、aq2、aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列，据题意2aq－1＝a－1＋aq2－4，2aq2－4＝aq－1＋aq3－13.整理得aq－12＝3，aqq－12＝6.解得q＝2，a＝3.因此所求四个数为3,6,12,24.2．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13，则成等差数列，求这四个数.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列3．已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3.(1)若a＝1，求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}唯一，求a的值．解：(1)设数列{an}的公比为q，则b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2＋q)2＝2(3＋q2).栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋2，q2＝2－2.所以数列{an}的通项公式为an＝(2＋2)n－1或an＝(2－2)n－1.(2)设数列{an}的公比为q，则由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)，栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有两个不同的实根．由数列{an}唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a＝13.∴若数列{an}唯一，则a的值为13.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列方法感悟方法技巧若数列{an}是公比为q的等比数列，则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列;偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列；栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列(3)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1.栏目导引新知初探思维启动典题例证技法归纳知能演练轻松闯关第二章数列失误防范1．在等比数列{an}中，若q＞1，数列{an}并不一定是递增数列，如－1，－2，－4，…,与首项a1的正负有关．2．数列{an}是等比数列，则{λan}也为等比数列，此时λ不为零．