教师资格证数学学科(高中数学)

第一章课程知识1.高中数学课程的地位和作用：⑴高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。⑵高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。⑶高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。⑷高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。2.高中数学课程的基本理念：⑴高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。⑵高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、特长提供空间。⑶让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。⑷提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习兴趣的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。⑸强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、数学建模。⑹重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质；强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。⑺强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的重要作用。⑻全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和过程性评价。3.高中数学课程的目标：⑴总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。⑵三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观⑶把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。⑷五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力4.高中数学课程的主线：函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。5.教学建议：⑴以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划⑵帮助学生打好基础，发展能力：①强调对基本概念和基本思想的理解和掌握②重视基本技能的训练③与时俱进地审视基础知识与基本能力⑶注重联系，提高对数学整体的认知⑷注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力⑸关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成⑹改善教与学的方式，使学生主动地学习⑺恰当运用现代信息技术，提高教学质量6.评价建议：⑴重视对学生数学学习过程的评价⑵正确评价学生的数学基础知识和基本能力⑶重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评）⑷实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象）⑸根据学生的不同选择进行评价第二章教学知识7.教学原则抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”）8.教学过程备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用）9.教学方法⑴讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教学语言）⑵讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。⑶自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学⑷发现法：又称问题教学法（布鲁纳），步骤是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问题解法；完善问题解答，总结思路方法；知识综合，充实改善学生的知识结构。10.概念教学⑴概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。⑵概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”）⑶概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清晰的语言描述，如“𝑓(𝑥)=𝑥𝛼”）⑷数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）11.命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性策略（教学实施之前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习）12.推理教学⑴推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的⑵推理的形式：演绎推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）13.问题解决教学⑴数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则⑵纯粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所得到的解）⑶非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解数学模型；检验；交流和评价；推广）14.学习方式：自主学习、探究学习、合作学习第三章教学技能15.教学设计⑴课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动进行系统安排的过程。⑵教学设计与教案的关系：①内容不同：教学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说明教什么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧重教什么、如何教。②核心目的不同：教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及怎样使学生学得更好。达到更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲好教学内容。③范围不同：从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。⑶数学课堂教学设计的意义：①使课堂教学更规范、操作性更强②使课堂教学更科学③使课堂教学过程更优化⑷数学课堂教学设计的基本要求：①充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本②适应学生的学习心理和年龄特征③重视课程资源的开发和利用④注重预设与生成的辩证统一⑤辩证认识和处理教学中的多种关系⑥整体把握教学活动的结构⑸数学教学设计的准备：①认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求②全面关注学生需求③认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图④广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计⑤制定学期教学计划、单元教学计划⑹教材分析①分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务②整体系统的观念用教材③理解教材的编排意图④突出教材的重点和难点⑺学情分析①分析学生原有的认知基础②分析学生的个体差异③了解学生的生理、心理④了解学生对本学科学习方法的掌握情况⑤分析学习知识时可能要遇到的困难⑻制定合理教学目标的要求①反映学科特点，体现内容本质②要有计划性，可评价性③格式要规范，用词要考究④要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等⑤注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究）⑥要实在具体，不浮华⑼教学反思①教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思②教学反思的步骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；个人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文⑽教学设计的撰写：①教学目标：知识与技能（了解、掌握、应用）；过程与方法（提高能力）；情感态度与价值观（体验规律、培养看问题的方法）②学情分析③教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析④教学理念⑤教学策略⑥教学环境⑦教学过程⑧教学反思16.教学实施⑴课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬念导入法⑵课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进性原则、全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则⑶课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分析综合提问、评价提问⑷学生活动：①学生活动体现了学生在学习中的主体地位②作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分③学生活动的目的是促进学生的理解④从总体上说，学生活动必须是思维活动⑸课堂结束技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和启下法、发散法和拓展法⑹结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外沟通，立疑开拓17.教学评价⑴数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、学生行为、教学效果⑵数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能第四章常用数学公式一、函数、导数1.函数的单调性⑴设𝑥1、𝑥2∈[𝑎,𝑏]且𝑥1𝑥2。那么𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)0𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上是增函数；𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)0𝑓(𝑥)在[𝑎,𝑏]上是减函数。⑵设函数y=𝑓(𝑥)在某个区间内可导，若𝑓′(𝑥)0，则在该区间内𝑓(𝑥)为增函数；若𝑓′(𝑥)0，则在该区间内𝑓(𝑥)为减函数2.函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）对于定义域内任意的𝑥，都有𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，则𝑓(𝑥)是偶函数；对于定义域内任意的𝑥，都有𝑓(−𝑥)=−𝑓(𝑥)，则𝑓(𝑥)是奇函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。3.函数在点𝑥0处的导数的几何意义函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥0处的导数𝑓′(𝑥0)是曲线𝑦=𝑓(𝑥)在P(𝑥0,𝑓(𝑥0))处的切线的斜率，相应的切线方程是𝑦−𝑓(𝑥0)=𝑓′(𝑥0)(𝑥−𝑥0)。4.几种常见函数的导数C′=0（C为常数）；(𝑎𝑥)′=𝑎𝑥ln𝑎；(𝑥𝑛)′=𝑛𝑥𝑛−1（n∈Q）；(𝑒𝑥)′=𝑒𝑥；(sin𝑥)′=cos𝑥；(cos𝑥)′=−sin𝑥；(arcsin𝑥)′=−(arccos𝑥)′=1√1−𝑥2；(arctan𝑥)′=−(arccot𝑥)′=11+𝑥2；(ln𝑥)′=1𝑥；(log𝑎𝑥)′=1𝑥ln𝑎；5.导数的运算法则(𝑢±𝑣)′=𝑢′±𝑣′；(𝑢𝑣)′=𝑢′𝑣+𝑢𝑣′；𝑢=𝑓(𝑥)，v=𝑔(𝑢)，𝑣′=𝑔′(𝑢)𝑢′6.幂函数𝑓(𝑥)=𝑥𝛼（α∈R，α≠1）α=𝑝𝑞α00α1α1性质𝑝为奇数，𝑞为奇数奇函数𝑝为奇数，𝑞为偶数𝑝为偶数，𝑞为奇数偶函数第一象限图像减函数增函数增函数过定点(1,1)7.求函数𝑦=𝑓(𝑥)的极值的方法:解方程𝑓′(𝑥)=0。当𝑓′(𝑥0)=0时：⑴如果在𝑥0附近的左侧𝑓′(𝑥0)0，右侧𝑓′(𝑥0)0，则𝑓(𝑥0)是极大值；⑵如果在𝑥0附近的左侧𝑓′(𝑥0)0，右侧𝑓′(𝑥0)0，则𝑓(𝑥0)是极小值；8.凹凸函数：设𝑓(𝑥)在开区间I上存在二阶导数：⑴若对任意𝑥∈I，有𝑓“(𝑥)0，则𝑓(𝑥)在I上为下凸函数；⑵若对任意𝑥∈I，有𝑓“(𝑥)0，则𝑓(𝑥)在I上为上凸函数；二、三角函数、三角变换、解三角形、向量9.同角三角函数的基本关系式sin2𝜃+cos2𝜃=1，tanθ=sinθcosθ，tan𝜃∙cot𝜃=110.正弦、余弦的诱导公式sin(𝑘π2±α)={(−1)𝑘2sin𝛼(−1)𝑘−12cos𝛼(𝑘为偶数)(𝑘为奇数)cos(𝑘π2±α)={(−1)𝑘2cos𝛼(−