解三角形(含答案)

36o1x1y解答题1．已知函数2()3sin22sinfxxx.（Ⅰ）若点(1,3)P在角的终边上，求()f的值；（Ⅱ）若[,]63x，求()fx的值域.解：（Ⅰ）因为点(1,3)P在角的终边上，所以3sin2，1cos2，………………2分所以22()3sin22sin23sincos2sinf………………4分231323()2()3222.………………5分（Ⅱ）2()3sin22sinfxxx3sin2cos21xx………………6分2sin(2)16x，………………8分因为[,]63x，所以65626x，………………10分所以1sin(2)126x，………………11分所以()fx的值域是[2,1].………………13分2.函数()sin()(0,0,||)2fxAxA部分图象如图所示．（Ⅰ）求()fx的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos2gxfxx，求函数()gx在区间[0,]2x上的最大值和最小值．解：（Ⅰ）由图可得1A，22362T，所以T．……2分所以2．当6x时，()1fx，可得sin(2)16，因为||2，所以6．……5分所以()fx的解析式为()sin(2)6fxx．………6分（Ⅱ）()()cos2sin(2)cos26gxfxxxxsin2coscos2sincos266xxx31sin2cos222xxsin(2)6x．……10分因为02x，所以52666x．当262x，即3x时，()gx有最大值，最大值为1；当266x，即0x时，()gx有最小值，最小值为12．……13分3．已知函数xxxf2cos)62sin()(.（1）若1)(f，求cossin的值；（2）求函数)(xf的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心解：（1）22cos16sin2cos6cos2sin)(xxxxf...3分（只写对一个公式给2分）212sin23x....5分由1)(f，可得332sin......7分所以2sin21cossin......8分63.......9分（2）当Zkkxk,22222，换元法..11即Zkkkx],4,4[时，)(xf单调递增.所以，函数)(xf的单调增区间是Zkkk],4,4[...13分4.已知函数2()2sincos2cosfxxxx（0xR，），相邻两条对称轴之间的距离等于2．（Ⅰ）求()4f的值；（Ⅱ）当02x，时，求函数)(xf的最大值和最小值及相应的x值．解：（Ⅰ）()sin2cos212sin(2)14fxxxx．……4分因为22T，所以T，1．……6分所以()2sin(2)14fxx．所以()04f………7分（Ⅱ）()2sin(2)14fxx当0,2x时，32444x，所以当242x，即8x时，max()21fx，…10分当244x，即0x时，min()2fx．………13分5.已知函数2()2sinsin()2sin12fxxxx()xR.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及函数()fx的单调递增区间；（Ⅱ）若02()23xf，0ππ(,)44x，求0cos2x的值.解:2()2sincos2sin1fxxxx……………………………………1分sin2cos2xx……………………………………2分π2sin(2)4x.………………3分（Ⅰ）函数()fx的最小正周期2ππ2T.……………………………………5分令πππ2π22π242kxk≤≤()kZ，……………………………………6分所以3ππ2π22π44kxk≤≤.即3ππππ88kxk≤≤.所以，函数()fx的单调递增区间为3ππ[π,π]88kk()kZ.……………8分（Ⅱ）解法一：由已知得0002()sincos23xfxx，…………………9分两边平方，得021sin29x同角关系式所以07sin29x…………11分因为0ππ(,)44x，所以0π2(,)22x.所以20742cos21()99x.……………………………………13分解法二：因为0ππ(,)44x，所以0ππ(0,)42x.…………………………9分又因为000ππ2()2sin(2)2sin()22443xxfx，得0π1sin()43x.……………………………………10分所以20π122cos()1()433x.……………………………………11分所以，00000πππcos2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444xxxxx122422339.6.已知π72sin()410A，ππ(,)42A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数5()cos2sinsin2fxxAx的值域．解：（Ⅰ）因为ππ42A，且π72sin()410A，所以ππ3π244A，π2cos()410A．因为ππcoscos[()]44AAππππcos()cossin()sin4444AA2272231021025．所以3cos5A．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin5A．所以5()cos2sinsin2fxxAx212sin2sinxx2132(sin)22x，xR．因为sin[1,1]x，所以，当1sin2x时，()fx取最大值32；当sin1x时，()fx取最小值3．所以函数()fx的值域为3[3,]2．7.已知△ABC中，2sincossincoscossinABCBCB.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量(cos,cos2)AAm，12(,1)5n，求当mn取最小值时，)4tan(A值.解：（Ⅰ）因为2sincossincoscossinABCBCB，所以2sincossin()sin()sinABBCAA.………3分因为0Ap，所以sin0A¹.所以1cos2B.………5分因为0Bp，所以3B.…………7分（Ⅱ）因为12coscos25AAmn，…………………8分所以2212343cos2cos12(cos)5525AAAmn.…10分所以当3cos5A时，mn取得最小值.此时4sin5A（0Ap），于是4tan3A.……12分所以tan11tan()4tan17AAA.……………13分200703168.已知函数23cossinsin3)(2xxxxfRx．（Ⅰ）求)4(f的值；（Ⅱ）若)2,0(x，求)(xf的最大值；（Ⅲ）在ABC中，若BA，21)()(BfAf，求ABBC的值．解：（Ⅰ）234cos4sin4sin3)4(2f21．4分（Ⅱ）2)2cos1(3)(xxf232sin21xxx2cos232sin21)32sin(x．…6分20x，32323x．当232x时，即125x时，)(xf的最大值为1．…8分（Ⅲ）)32sin()(xxf，若x是三角形的内角，则x0，∴35323x．令21)(xf，得15sin(2)22323636xxx或，解得4x或127x．……10分由已知，BA,是△ABC的内角，BA且21)()(BfAf，∴4A，127B，∴6BAC．…11分又由正弦定理，得221226sin4sinsinsinCAABBC．……13分9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c分，且满足2coscoscbBaA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若25a，求△ABC面积的最大值．解：（Ⅰ）因为2coscoscbBaA，所以(2)coscoscbAaB由正弦定理，得(2sinsin)cossincosCBAAB．整理得2sincossincossincosCABAAB．所以2sincossin()sinCAABC．在△ABC中，sin0C．所以1cos2A，3A．（Ⅱ）由余弦定理2221cos22bcaAbc，25a．所以2220220bcbcbc（均值定理在三角中的应用）所以20bc，当且仅当bc时取“=”．（取等条件别忘）所以三角形的面积1sin532SbcA．所以三角形面积的最大值为53．……………………13分10.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数2cos2cos2sin3)(2xxxxf，当)(Bf取最大值23时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得cosA=12．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分)……3分∵0Aπ，（或写成A是三角形内角）……………………4分∴3A．……………………5分（Ⅱ）2cos2cos2sin3)(2xxxxf311sincos222xx…7分1sin()62x，……9分∵3A∴2(0,)3B∴5666B（没讨论，扣1分）…10分∴当62B，即3B时，()fB有最大值是23．…11分又∵3A，∴3C∴△ABC为等边三角形．……13分11.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为,,abc，已知1tan2B，1tan3C，且1c.(Ⅰ)求tanA；(Ⅱ)求ABC的面积.解：（I）因为1tan2B，1tan3C,tantantan()1tantanBCBCBC,…………………1分代入得到，1123tan()111123BC.…………………3分因为180ABC,…………………4分所以tantan(180())tan()1ABCBC.………5分（II）因为0180A，由（I）结论可得：135A.…………………7分因为11tantan023BC，所以090CB.…………8分所以5sin,5B10sin10C.…………9分由sinsinacAC得5a，…………………11分所以ABC的面积为：11sin22acB.………………13分12．在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且274sincos222ABC．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinsinAB的最大值．解：（Ⅰ）∵A、B、C为三角形的内角，∴CBA．∵274sincos222ABC，∴272cos2cos42CC．…………2分∴27)1cos2(2cos142CC．即021cos2cos22CC．……4分∴21cosC．又∵C0，∴3C．…7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得32BA．∴)32sin(sinsinsinAABAAAAsin32coscos32sinsin)6sin(3cos23sin23AAA．…10分∵320A，∴6566A．∴当26