广东省广州市第一中学人教A版数学课件必修二第2章复习三空间角问题

空间角的计算问题必修2第二章复习专题（三）定义图形范围两异面直线所成的角在空间内任取一点，过此点分别作这两条异面直线的平行线，则这两条线所成的角就是这里两条异面直线所成的角。直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.二面角在二面角的棱l上任取一点，在和内，从该点分别作垂直于棱的射线，这两条射线组成的角就是此二面角的平面角abb/θθθ(0,]2[0,]2[0,]2、求空间角的一般步骤：，，。3、求空间角的方法：（1）异面直线所成的角：平移法。选择一些特殊位置(如三角形的中位线等)作平行线,也可以通过构造平行四边形而得到平行线,然后解三角形计算即可.（2）直线和平面所成的角：关键是作出直线在平面内的射影,一般射影也是一些特殊的位置。（3）二面角:(1)找“点”法,根据二面角的面的特殊形状,找棱上的特殊点作为平面角的顶点,解三角形完成.(2)找“线”法,过一个面上的特殊点向另一个面引垂线,构造二面角的平面角.一作（或找）二证三求DCBAC1B1D1A1OPABDC1、正棱柱1111ABCDABCD中,12AAAB,则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为2、在如图几何体中，EA平面ABC，DB平面ABC，ACBC，且2ACBCBDAE，M是AB的中点．直线CM与平面CDE所成的角为3、如图，P是边长为22的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC=5，则二面角P—BD—A的余弦值为。【预习自测】4545213131、如图，在RtAOB△中，π6OAB，斜边4AB．RtAOC△可以通过RtAOB△以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角．动点D的斜边AB上．（I）求证：平面COD平面AOB；（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；（III）求CD与平面AOB所成角的最大值．DAOCB【典例探究】(1)∵OC⊥OA，OB⊥OA，∴OC⊥面AOB∴∠BOC就是二面角B—AO—C的平面角∵二面角B—AO—C是直二面角∴OB⊥OC∵OA⊥OC，且OA∩OB=C∵OC在平面角COD内∴面COD⊥面AOBDAOCBE(2)取OB的中点E，连接CE，DE∵D、E分别是AB、OB的中点，∴DE//OA，DE=1/2OA∵OC⊥OA，OB⊥OA，∴OA⊥面ＢＯＣ∴DE⊥平面OＢＣ∵ＣE在平面ＣＯB内∴∠CＤＥ就是所求。∴ＤＥ⊥ＣＥ∵AB=4，∠BAO=30°，∴OB=2，OA=23∴OC=2，OE=1，CE=,DE=35∴在ＲＴ△DEC中，515tan33CECDEDEDAOCB（III）由（I）知，CO平面AOB，CDO是CD与平面AOB所成的角，且2tanOCCDOODOD．当OD最小时，CDO最大，这时，ODAB，垂足为D，3OAOBODAB，23tan3CDO，CD与平面AOB所成角的最大值为23arctan3．1、如图，在RtAOB△中，π6OAB，斜边4AB．RtAOC△可以通过RtAOB△以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角．动点D的斜边AB上．（I）求证：平面COD平面AOB；（II）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的大小；（III）求CD与平面AOB所成角的最大值．故CD与平面AOB所成角的正切值最大值为332PADBC2、四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB（1）求二面角B—PA—C的大小（2）求二面角A—PD—C的大小【典例探究】解：（1）∵PA⊥面ABCD∴AB⊥PA，AC⊥PA∴∠BAC就是二面角B—PA—C的平面角∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC=45°，故所求为45°（2）∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥CD∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD∵PA∩AD=D，∴CD⊥平面PAD∵CD在平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD故所求的二面角大小为90°思考：如何求二面角B—PC—D的大小？120°1、直三棱柱111ABCABC中，90BAC，1ABACAA，异面直线1BA与1AC所成角是（）(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°2、已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为（）（A）34(B)54(C)74(D)34【反馈检测】CDCABC11A11B11EF3、直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2,90ACB，E,F分别是AA1与BC1的中点,(1)求直线EF与A1C所成角的余弦;(2)求直线EF与面AA1C1C所成角的正弦;*(3)求平面EBC1与平面ABC所成锐二面角的正切值。【反馈检测】分析：(1)取B1C1的中点H，由EFHA1是平行四边形得AH//EF，则∠CA1H就是所求。(2)取CC1的中点M，连接EM、FM，则∠FEM就是所求。HM(3)延长C1E与CA相交于点P，连接BP，过C作CN⊥BP，连接CP，则∠CNC1就是所求。PN110cos5CAH5sin5FEM15tan2CNC4、(选做）如图，四边形ABCD是正方形，O是两对角线的交点，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝AB＝2MA.(1)证明：AC∥平面PMD；(2)求直线BD与平面PCD所成角的大小【反馈检测】(1)取PD的中点N，连接ON、MN，易证OA//MN分析：N(2)取PC的中点E，连接BE、DE，由DC⊥平面PBC可得平面PBC⊥面PDC，所以BE⊥面PDC，即∠BDE就是所求E3021sinBDEBDBEBDE