6.4反三角函数

第六章三角函数6.4反三角函数xyo-2-234······1-1正弦函数有反函数吗？)(sinRxxy这里的“sinarca”是一个角的符号.三角函数在其定义域上是没有反函数的.(∵不是一一映射,同一个三角函数值会对应许多角)但是人们需要解决已知三角函数值求未知角的问题.为了更好解决此类问题而定义了反三角函数:如:⑴反正弦函数,值域为arcsin(1,1)yxx,22它是函数的反函数.sin(,)22yxx理解和掌握符号arcsina1、它是一个角2、这个角的范围是,223、这个角的正弦值是sinaa练习：书108页——1、2]2,2[]1,1[arcsin，值域为，定义域为反正弦函数xy周期单调递增，奇函数，无的反函数，在定义域上是xysin-1-0.50.51-1.5-1-0.50.511.5例1：判断下列各式是否正确？并简述理由。3(1)arcsin233(2)arcsin32(3)arcsin12()2kkZ(4)arcsin()arcsin33(5)sin(arcsin2)222(7)sin(arcsin)1010对错13错13错错13错21对练习：书108页——3sin(arcsin),1,1xxxarcsin(sin)?x例2：化简下列各式(1)arcsin(sin)995(2)arcsin(sin)66(3)arcsin(sin3.49)0.49例3：求下列函数的定义域与值域(1)2arcsinyx0,1,0,2xy2(2)arcsin()yxx1515,221arcsin,42xy此函数的单调递减区间为151,22x此函数的单调递减区间为115,22x例4：求的反函数3sin,,2xyx2arcsin,3,33xyx⑵反余弦函数arccos(1,1)yxx,值域为0,这里的“cosarca”也是一个角的符号.这个角“cosarca”落在0,上,且cos(cos)arcaa反过来,如果角0,x,且cosxa,则cosarcax即cos(cos)(0,)arcxxx它是函数cos(0,)yxx的反函数.因为这个区间是最简单的,且每一个余弦值都对应一个角在这个区间,且是余弦函数的一个单调区间.],0[]1,1[arccos，值域为，定义域为反余弦函数xy-1-0.50.510.511.522.53在定义域上单调递减，无周期arccos()arccosxx⑶反正切函数arctan()yxxR,值域为(,)22它是函数tan((,))22yxx的反函数.这里的“tanarca”也是一个角的符号.这个角“tanarca”落在(,)22上,且tan(tan)arcaa反过来,如果角(,)22x,且tanxa,则tanarcax即tan(tan)((,))22arcxxx⑷反余切函数arccot()yxxR,值域为(0,)它是函数cot((0,))yxx的反函数.)2,2(arctan，值域为，定义域为反正切函数Rxytan22yxyy是的反函数，在定义域上单调递增，奇函数，无周期，无限接近，例5：求下列反三角函数值:32（1）arccos2(2)arccos()2(3)arccos0(4)arctan1(5)arctan(3)634243练习：书110页——1、2、3例6：求下列各式的值14(1)cos(arcsin)2525515(2)cos(arcsinarcsin)313242539例7：求下列函数的定义域与值域1(1)arctanarcsin2yxx1,1,,22xy2(2)arccos()yxx1515,22x此函数的单调递减区间为151,22x此函数的单调递减区间为115,22x1arccos,4y例8：函数的定义域是，求这个函数值域arcsin(cos)yx2,33,62例9：已知，求x范围arcsin6x1,12例10：已知，求x范围2arcsin(1)arcsin(1)0xx1,2