2018年4月浙江省高中学业水平考试数学试题

12018年4月浙江省学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）1.已知集合10xxP，32xxQ.记QPM，则A.M2,1,0B.M3,1,0C.M3,2,0D.M3,2,12.函数xxxf1)(的定义域是A.0xxB.0xxC.0xxD.R3.将不等式组01,01yxyx表示的平面区域记为，则属于的点是A.)1,3(B.)3,1(C.)3,1(D.)1,3(4.已知函数)3(log)3(log)(22xxxf，则)1(fA.1B.6log2C.3D.9log25.双曲线1322yx的渐近线方程为A.xy31B.xy33C.xy3D.xy36.如图，在正方体1111DCBAABCD中，直线CA1与平面ABCD所成角的余弦值是A.31B.33C.32D.367.若锐角满足53)2πsin(，则sinA.52B.53C.43D.548．在三棱锥ABCO中，若D为BC的中点，则ADA.OBOCOA2121B.OCOBOA2121C.OAOCOB2121D.OAOCOB21219.设na，nb)N(n是公差均不为零的等差数列.下列数列中，不构成等差数列的是A.nnbaB.nnbaC.1nnbaD.1nnbaABCD1A1D1C1B（第6题图）210.不等式1112xx的解集是A.313xxB.331xxC.31,3xxx或D.3,31xxx或11．用列表法将函数)(xf表示为，则A.)2(xf为奇函数B.)2(xf为偶函数C.)2(xf为奇函数D.)2(xf为偶函数12．如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是A.01222yxyxB.012222yxyxC.01222yxyxD.012222yxyx13.设a为实数，则“21aa”是“aa12”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.在直角坐标系xOy中，已知点)1,0(A，)0,2(B，过A的直线交x轴于点)0,(aC，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则aA.41B.43C.1D.3415.甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为乙甲，SS，体积为乙甲，VV，则A.乙甲乙甲，VVSSB.乙甲乙甲，VVSSC.乙甲乙甲，VVSSD.乙甲乙甲，VVSSABCDxyo(第12题图)aaaa正视图aa侧视图俯视图（第15题图①）aaaa正视图aa侧视图俯视图（第15题图②）316．如图，F为椭圆)0(12222babyax的右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点P，点BA,分别为椭圆的右顶点和上顶点，O为坐标原点.若△OAB的面积是△OPF面积的25倍，则该椭圆的离心率是A.52或53B.51或54C.510或515D.55或55217．设a为实数，若函数axxxf22)(有零点，则函数)]([xffy零点的个数是A.1或3B.2或3C.2或4D.3或418．如图，设矩形ABCD所在平面与梯形ACEF所在平面相交于AC.若3,1BCAB，1ECFEAF，则下列二面角的平面角的大小为定值的是A.CABFB.DEFBC.CBFAD.DAFB二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）19.已知函数1)3π2sin(2)(xxf，则)(xf的最小正周期是▲，)(xf的最大值是▲.20.若平面向量ba,满足)6,1(2ba，)9,4(2ba，则ba▲.21.在△ABC中，已知2AB，3AC，则Ccos的取值范围是▲.22．若不等式02)(22axaxx对于任意Rx恒成立，则实数a的最小值是▲.三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23.(本题满分10分)在等差数列)N(nan中，已知21a，65a.(Ⅰ)求na的公差d及通项na；（Ⅱ）记)N(2nbnan，求数列nb的前n项和.24.(本题满分10分)如图，已知抛物线12xy与x轴相交于点A，B两点，P是该抛物ABCDEF（第18题图）xyBAFO（第16题图）4线上位于第一象限内的点.(Ⅰ)记直线PBPA，的斜率分别为21,kk，求证12kk为定值；（Ⅱ）过点A作PBAD，垂足为D.若D关于x轴的对称点恰好在直线PA上，求△PAD的面积.25.(本题满分11分)如图，在直角坐标系xOy中，已知点)0,2(A，)3,1(B，直线tx)20(t将△OAB分成两部分，记左侧部分的多边形为.设各边长的平方和为)(tf，各边长的倒数和为)(tg.(Ⅰ)分别求函数)(tf和)(tg的解析式；（Ⅱ）是否存在区间),(ba，使得函数)(tf和)(tg在该区间上均单调递减？若存在，求ab的最大值；若不存在，说明理由.ABxoytx(第25题图)xyOABPD（第24题图）52018年4月浙江省学业水平考试数学试题答案一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分.）19．，320.221.)1,35[22.3三、解答题（本大题共3小题，共31分.）23．解：（Ⅰ）因为daa415，将21a，65a代入，解得数列na的公差1d；通项1)1(1ndnaan.（Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项na代入122nannb.由此可知nb是等比数列，其中首项41b，公比2q.所以数列nb的前n项和421)1(21nnnqqbS24.解：（Ⅰ）由题意得点BA,的坐标分别为)0,1(A，)0,1(B.设点P的坐标为)1,(2ttP，且1t，则11121tttk，11122tttk，所以212kk为定值.（Ⅱ）由直线ADPA,的位置关系知tkkAD11.因为PBAD，所以1)1)(1(2ttkkAD，解得2t.因为P是第一象限内的点，所以2t.得点P的坐标为)1,2(P.联立直线PB与AD的方程),1)(21(,)1)(21(xyxy解得点D的坐标为)22,22(D.所以△PAD的面积22121DPyyABS.25.解：（Ⅰ）当10t时，多边形是三角形（如图①），边长依次为ttt2,3,；题号123456789答案CADCCDDCA题号101112131415161718答案BABABBDCB6当21t时，多边形是四边形（如图②），边长依次为2),1(2),2(3,ttt.所以，,21,20208,10,8)(22ttttttf.21,21)1(21)2(311,10,1)3323()(tttttttg（Ⅱ）由（Ⅰ）中)(tf的解析式可知，函数)(tf的单调递减区间是)45,1(，所以)45,1(),(ba.另一方面，任取)45,1(,21tt，且21tt，则)()(21tgtg])2)(2(31)1)(1(211)[(21212112tttttttt.由45121tt知，1625121tt,81)1)(1(2021tt,1639)2)(2(321tt.从而)1)(1(2021tt)2)(2(321tt,即0)2)(2(31)1)(1(212121tttt所以0)()(21tgtg，得)(tg在区间)45,1(上也单调递减.证得)45,1(),(ba.所以，存在区间)45,1(，使得函数)(tf和)(tg在该区间上均单调递减，且ab的最大值为41.ABxoytx(第25题图①)ABxoytx(第25题图②)