第-9-章-光的干涉.习题答案

第9章1第9章光的干涉习题9.1在杨氏实验中，若对实验装置做如下调节，干涉条纹将如何变化？（1）入射光的波长变大；（2）用一折射率为n、厚度为t的透明介质片覆盖其中一条狭缝（n＞1）；（3）双缝之间的距离逐渐变大；（4）将整个装置置于折射率为n＞1的透明介质中。解杨氏实验的干涉条纹有如下特点：对一定波长的单色光来说，相邻明条纹（或暗条纹）的间距相等，均为/yldλΔ=，式中l为双缝到屏幕的距离，d为双缝的间距，因此有（1）入射光的波长变大，相邻条纹间距变大。（2）用一个折射率为n、厚度为t的透明介质片覆盖其中一条狭缝（n＞1），由该狭缝发出的光的光程将增加(-1)nt，中央明纹中心的位置将向覆盖介质片的方向移动，移动条数为(-1)/ntλ，因为相邻条纹明对应的光程差之差为λ。原来中央明纹中心的位置将变成(-1)/ntλ级明纹的中心。（3）双缝之间的距离逐渐变大，相邻条纹间距变小。（4）将整个装置置于折射率为n＞1的透明介质中，因由双缝S1、S2发出的光到达任意点P处的光程差为21()nrrδ=−=lydn=λk±（1）式（1）中y为点P相对点O的坐标，k级明条纹中心的位置是,0,1,2,lykkndλ=±=（2）因而相邻明条纹（或暗条纹）的间距相等，所以均为ndlyλ=Δ可以看出，将整个装置置于折射率为n＞1的透明介质中，条纹间距会变小。9.2由汞弧灯发出的光，通过一个绿色滤光片后，照射到相距为0.50mm的双缝上，在距双缝2.5m的屏幕上观测其干涉条纹。若测得相邻两明条纹中心的距离为2.72mm，求入射光的波长。解因对一定波长的单色光来说，相邻明条纹（或暗条纹）的间距相等为2.72mmyΔ=。已知双缝到屏幕的距离l=2.5m，双缝d=0.50mm，根据双缝干涉条纹间距公式可得入射光的波长为42.720.55.4410(mm)544nm2500ydlλ−Δ⋅×===×=第9章29.3两列相干光束的振幅比分别为E01/E02=1，1/3，3，6，1/6。求干涉条纹的衬比度。解：由双光束干涉条纹的衬比度公式为()()20201020112EEEE+=γ（1）可知，当E01/E02=1，1/3，3，6，1/6时，干涉条纹的衬比度分别为1=γ，0.6,0.6,0.32,0.329.4He-Ne激光的波长为633nm，谱线宽度Δλ=1.0×10-8nm。求波列长度。相干时间为多少？解这是关于光源时间相干性的问题。波列长度为2213486334.0068910(nm)4.0110m1.010Lλλ−===×=×Δ×相干时间为4484.00689101.33610(s)310Lcτ−×===××9.5若杨氏实验中光源与衍射屏的距离为1m，两衍射孔的间距为1mm，问可用光源的最大线度为多少（取波长λ=500nm）？若光源线度为1mm，则为了看到条纹，两衍射孔间距应改为多少？解这是关于光源空间相干性的问题。就双空上下分布的装置而言，光源的临界宽度0b是指上一半光源各点产生的条纹恰与下一半光源各点产生的条纹相互抵消，所以光源的最大线度（临界宽度）为λdlb=0（1）式中l为光源与衍射屏的距离，d为两衍射孔的间距，因此有94031.0500105.010(m)0.5mm1.010b−−−=××=×=×若光源线度为1mm，两衍射孔间距应改为94301.0500105.010(m)=0.5mm1.010ldbλ−−−==××=××9.6已知太阳的直径为1.4×106km，与地球的距离为1.5×108km。若以太阳为光源做杨氏实验，则两衍射孔间距最大为多少（取λ=500nm）?解这是关于光源空间相干性问题，光源的最大线度公式为第9章3λdlb=0式中0b=1.4×106km，l=1.5×108km，取λ=500nm，因而两衍射孔的间距为83956301.51010500105.35710(m)53.57m1.41010ldbλμ−−××==××=×=××9.7如图9-1所示，波长为600nm的点光源S与劳埃德镜的垂直距离为h=0.5mm，A=3cm，B=5cm，C=15cm，求观测屏上干涉条纹的间距和可能出现的干涉条纹的数目。解根据题图中的几何关系可知，点光源间距mm12==hd，双控到观测屏的距离cm23=++=CBAD。因此，观测屏上干涉条纹的间距为6230600100.138(mm)1.0Dxdλ−××Δ===（1）设产生干涉条纹的最低位置坐标为1x、最高位置坐标为2x。由于CxBAh1=+，CBxAh+=2，因此，观测屏屏上发射光与直接入射光的交叠范围为212001500.52.396(mm)3080BCCLxxhAAB+⎛⎞⎛⎞=−=−=×−≈⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠（2）将式（2）除以式（1）得到2.39617.40.138Lmx==≈Δ9.8两平面玻璃间形成一劈尖角θ=2.0×10-4rad的空气劈形膜。当用单色光垂直入射时，测得第一至第五条明条纹中心的间距为6.0mm。求入射光的波长。解因劈形膜形成等间距条纹。根据题意可知任意两条相邻明（或暗）条纹的间距为6.0==1.5(mm)4lΔ（1）已知劈形膜的条纹间距可以表示为2lnλθΔ=（2）图9-1题9.7图第9章4式中λ是入射光的波长，n是膜的折射率，θ是劈尖角。由式（2）解得入射光的波长为46221.02.0101.510600(nm)nlλθ−=Δ=×××××=9.9两块长均为50mm的平面玻璃，一端接触，另一端用直径为d的金属丝垫起，形成一空气劈形膜。用波长λ=700nm的单色光垂直入射时，测得第一至第十条明条纹中心的间距为18.0mm。求金属丝的直径。解因劈形膜形成等间距条纹。根据题意可知任意两条相邻明（或暗）条纹的间距为18.0==2.0(mm)9lΔ（1）设金属丝的直径为d，因形成的条纹是等间距的，整个装置共形成条纹数为50252lml===Δ任意两条相邻明（或暗）条纹中心所对应的薄膜厚度差为λ/2，因而，金属丝的直径d为33700258.7510(nm)8.7510mm22dmλ−==×=×=×9.10用波长λ=500nm的单色光做牛顿环实验，测得反射光形成的第k级暗环的半径rk=4.0mm，第k+10级暗环的半径rk+10=5.0mm。求平凸透镜的凸面的曲率半径。解考虑到牛顿环的中心点不一定紧密接触，可靠的测量方法应是测量干涉条纹（牛顿环）的直径。这时，凸面的曲率半径与干涉条纹半径的关系为λmrrRkmk22−=+（1）式中重要的是两个干涉条纹圆环相差的环数m，而不是绝对级别k。已知5.0mm,4.0mm,10,500nmkmkrrmλ+====，代入式（1）算得凸面的曲率半径为2222365.04.01.810(mm)1050010kmkrrRmλ+−−−===×××9.11用波长为λ的单色光垂直照射牛顿环装置，测得第k级明条纹的半径为r。若已知组成牛顿环装置的平凸透镜凸面的曲率半径为R。求牛顿环装置中平面玻璃和平凸透镜间介质的折射率。解设第k级明条纹的半径为r处对应的介质薄膜的厚度为d，考虑到光被薄膜下表面反射有半波损失，则分别由介质薄膜（n）下、上表面反射的相干光的第9章5光程差为λλδknd=+=22（1）已知组成牛顿环装置的平凸透镜凸面的曲率半径为R，它与第k级明条纹的半径为r，以及对应的介质薄膜厚度d有关系式Rrdk22=（2）联立式（1）和（2），解得21()2kRnkrλ=−9.12如图9-2所示，在平凹透镜的凹面上放一平凸透镜，平凸透镜的凸面是一标准样板，其曲率半径R1=102.3cm，平凹透镜的凹面是待测面，其曲率半径为R2。当以波长λ=589.3nm的单色光垂直入射时，测得第十级暗环的半径r10=5.60cm，求R2为多少？解如图9-2所示，取一个圆心在12OO连线、半径为r的圆周。在圆周处，平凸透镜和平凹透镜之间形成空气膜，空气膜厚度为21eee−=（1）式中1e和2e分别是平凸透镜的凸面和平凹透镜的凹面在圆周处相对接触点的高度。由几何关系()211221eRrR−+=和()222222RrRe=+−，考虑到1e和2e均很小，可得1212Rre=，2222Rre=（2）已知暗条纹的条件为2)12(22λλ+=+ke（3）将1e和2e的表达式代入式（3）后化简，得到λkRRrk=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−21211（4）解式（4）可得到1221,0,1,2,kRRrkkRRλ==−（5）对第十级暗环有λ101121210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−RRr（6）图9-2题9.12图第9章6由式（6）解出2R并将已知数据r10=5.60cm，R1=102.3cm，λ=589.3nm代入，求得222110222291011.023(5.6010)1.025(m)10(5.6010)10589.3101.023RrRrRλ−−−××===−×−×××9.13在n1=1.75的玻璃片上覆盖着一层折射率n2=1.30的厚度均匀的薄油膜。当白光垂直照射在油膜上时，可观测到波长为500nm、700nm的光在反射光中消失，试求油膜厚度。解设膜层厚度为h，当膜层的光学厚度n2h=λ/4，3λ/4，…，且为低膜时（即n1n2空气折射率1），上、下两束反射光的有效光程差中无半波损失项，从而相位差为π，相干叠加的结果为暗场，可以实现完全消反射。当白光垂直照射在油膜上时，可观测到波长为500nm、700nm的光在反射光中消失，油膜厚度为2(21),1,2,3,4khknλ−==（1）经分析可知，500nm对应的4=k，700nm对应的3=k。将数据代入式（1），解得油膜厚度为673nm。9.14从光源相干性出发，说明薄膜干涉对光源的时间相干性和空间相干性有什么要求。答在教材中是以杨氏干涉为题讨论光源的时空相干性的，杨氏干涉是分波阵面干涉的典例。薄膜干涉是分振幅干涉，下面以薄膜干涉为题讨论时空相干性。光在薄膜的前表面上的反射光为光束1，而在薄膜后表面上的反射光为光束2，当薄膜厚度d远小于入射光的相干长度时，光束1和2是相干的。干涉条纹的亮暗由光程差决定，光程差取决于薄膜光学厚度nd和入射角度i。为具体讨论薄膜干涉，分以下两种情况：（1）薄膜光学厚度nd不变而入射角度i改变，即等倾干涉；（2）入射角度i不变而薄膜光学厚度nd改变，即等厚干涉。（1）等倾干涉时，因薄膜上下两表面互相平行，所以干涉条纹是定域在无限远的，光程差只取决于入射角i，无论光源在何处，只要入射角相同，光程差就相同，即干涉图样与光源位置无关，也就不存在光源的空间相干性问题。因此用尽量大的面光源照明不会使条纹模糊而只会增加条纹亮度。（2）等厚干涉时，当膜很薄或入射光接近正入射时，等厚干涉的两相干光在薄膜表面附近相遇而干涉，因而这种条纹定域在薄膜表面附近。光源位置改变时，其在薄膜上的同一位置产生的光程差也相应变化，因而干涉图样与光源位置有关，当光源较大时，不同位置光源产生的干涉条纹互相重叠而模糊，所以采用点光源或平行光束照明，严格说，只有当入射光是平行光时，才是真正的等厚干涉。第9章79.15从以下几个方面比较等厚条纹和等倾条纹的区别：（1）两者对光源的要求和照明方式有何不同？能否用扩展光源观测等厚条纹？用平行光观测等倾条纹将会怎样？（2）两者的接收（观测）方式有何不同？如果用一小片黑纸遮去薄膜表面的某一部位，这将分别给等厚和等倾条纹带来什么影响？答（1）对于等厚条纹来说，若进行严格观测，照明方式应采用傍轴窄光束照明，采用扩展光源照明，将导致条纹对等厚线的偏离和条纹衬比度的下降。膜越厚，这一现象越严重。但在观测准确性要求不太高时，采用扩展光源照明往往是利大于弊。这是因为扩展光源有利于增加视场，我们可以用接收条纹的光瞳，来限制影响条纹衬比度的光源有效宽度。对于等倾条纹来说，既可用点光源照明，也可用扩展光源照明。采用扩展光源照明是有利无害的，不但不会影响条纹的衬比度，反而可以增加条纹的强度，使等倾条纹变得更加明亮。当照明光源方向性太强时，将使等倾条纹的图样残缺不全。在平行光照明的极端情形下，屏幕上相干光束的交叠区收缩为一个