二次函数实际应用

1第14讲二次函数的实际应用考点1实物抛物线步骤①建立平面直角坐标系；②利用①法确定抛物线的解析式；③利用二次函数的性质解决实际问题.常见类型桥梁、隧道、体育运动等【易错提示】当题目中没有给出坐标系时，坐标系选取的不同，所得解析式也不同.考点2二次函数在销售问题中的应用步骤①读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找②；②确定函数解析式；③确定二次函数的③，解决实际问题.【易错提示】在求二次函数最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响.考点3二次函数在面积问题中的应用步骤①根据几何知识探求图形的④；②根据面积关系式确定函数解析式；③确定二次函数的⑤，解决问题.考点4灵活选用适当的函数模型步骤①由题目条件在坐标系中描出点的坐标；②根据点的坐标判断⑥；③由⑦确定函数解析式；④将其他各点或对应值代入所求解析式，检验函数类型确定得是否正确；⑤利用所求函数的性质解决问题.【易错提示】建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数解析式进行验证，防止出现错解.1.二次函数在实际生活中有着广泛的应用，解题时可采用列表、画图象等方法辅助思考.2.应用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值时，一定要考虑顶点(横坐标、纵坐标)的取值是否在自变量的取值范围之内.命题点1实物抛物线例1(2014·盐城)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m.2(1)当h=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围.【思路点拨】(1)根据h=2.6和函数图象经过点(0，2)，确定二次函数的解析式；(2)令x=9，求y值，若y≥2.43，则球能过网，反之则不能.令y=0，求x值.若x≤18，则球不出界，反之就会出界；或者令x=18求y，若y＞0则出界，否则不出界;(3)把二次函数化为只含有字母系数h的形式.然后令x=9时y＞2.43，且当x=18时y≤0，从而确定h的取值范围.【解答】方法归纳：利用二次函数解决实物抛物线形问题时，要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后根据求解的结果转化为实际问题的答案.1.(2013·仙桃)2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业.比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图).若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y=-29x2+89x+109，则羽毛球飞出的水平距离为米.2.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.3(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间ｔ(单位：时)的变化满足函数关系h=-1128(t-19)2+8(0≤t≤40)且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？命题点2二次函数在销售问题中的应用例2(2014·滨州模拟)某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件.(1)当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？(2)当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？【思路点拨】(1)根据定价，算出对应销售量，然后求当月利润；(2)每月的销售利润=单件利润×月销售量，得二次函数关系式，然后转化为顶点式求最大利润.【解答】方法归纳：本题最后问的是售价，而关系中给出的是涨价，一定要分清二者的关系，这是一个易错点.这类题一般设涨价或者降价为x元，得二次函数关系式.最后将结果化到售价即可.1.(2013·衢州)某果园有100棵橘子树，平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种10棵橘子树，橘子总个数最多.2.某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x4元(x为整数)，每个月的销售利润为y元.(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?命题点3二次函数在面积问题中的应用例3(2013·莆田)如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形的边长AB=4米，∠ABC=60°.设AE=x米(0＜x＜4)，矩形的面积为S米2.(1)求S与x的函数关系式；(2)学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元／米2，黄色花草的价格为40元／米2.当x为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求出最低总费用(结果保留根号).【思路点拨】(1)连接AC，BD，根据轴对称的性质，可得EH∥BD，EF∥AC，△BEF为等边三角形，从而求出EF.AC与EH交于M，在Rt△AEM中求出EM，继而得出EH，这样即可得出S与x的函数关系式；(2)根据(1)的答案，可求出四个三角形的面积，设费用为W，则可得出W关于x的二次函数关系式，利用配方法求最值即可.【解答】方法归纳：解几何图形最值问题常用的方法是要先求出面积的表达式，发现是二次函数就可以利用配方法或利用顶点公式求最值，但要注意x的取值范围.1.小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?52.(2013·滨州)某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体，抽屉底面周长为180cm，高为20cm.请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？(材质及其厚度等暂忽略不计)命题点4灵活选用适当的函数模型例4(2013·武汉)科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况(如下表).温度x/℃…-4-20244.5…植物每天高度增长量y/mm…414949412519.75…由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理由；(2)温度为多少时，这种植物每天高度增长最大？(3)如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择？直接写出结果.【思路点拨】(1)利用自变量可取0，排除反比例函数；利用三点不共线，排除一次函数；(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答；(3)利用二次函数与一元一次方程以及一元二次不等式关系求解.【解答】方法归纳：此题是一道二次函数的实际应用问题.解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可.(2013·乌鲁木齐)某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y(万个)与销售价格x(元/个)的变化如下表：价格x(元/个)…30405060…销售量y(万个)…5432…同时，销售过程中的其他开支(不含进价)总计40万元.(1)观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用学过的一次函数、反比例函数或二次函数6的有关知识写出y(万个)与x(元/个)的函数解析式；(2)求得该公司销售这种计算器的净得利润z(万元)与销售价格x(元/个)的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？(3)该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x(元/个)的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是()A.4米B.3米C.2米D.1米2.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是()A.5月B.6月C.7月D.8月3.一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为()A.5元B.10元C.0元D.3600元4.(2014·株洲模拟)株洲五桥主桥主孔为拱梁钢构组合体系如图1，小明在五桥观光，发现拱梁的路面部分有均匀排列着9根支柱，他回家上网查到了拱梁是抛物线，其跨度为20米，拱高(中柱)10米，于是他建立如图2的坐标系，将余下的8根支柱的高度都算出来了，你认为中柱右边第二根支柱的高度是()7A.7米B.7.6米C.8米D.8.4米5.（2013·山西）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为m.6.便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(元)与每件销售价x(元)之间的关系满足y=-2x2+80x+750，由于某种原因，售价只能满足15≤x≤22，那么一周可获得的最大利润是元.7.将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段,并把每段铁丝围成圆,设所得两圆半径分别为r1和r2.(1)求r1与r2的关系式,并写出r1的取值范围;(2)将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，求S的最小值.8.如图是一座桥,桥下冬暖夏凉，常有渔船停泊桥下避晒纳凉.已知主桥拱为抛物线型，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x轴，AB的中点为原点建立坐标系.(1)求此桥拱线所在抛物线的解析式；(2)桥边有一艘船,浮在水面部分高4m，最宽处122m，试探索此船能否开到桥下?说明理由.89.(2014·武汉)九(1)班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：时间x(天)1≤x＜5050≤x≤90售价(元/件)x+4090每天销量(件)200-2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元.(1)求y与x的函数关系式；(2)问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多少？(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.10.星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.(1)若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；(2)垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围.11.(2013·青岛)某商场要经营一种新上市的文具，进价为