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当前位置:首页 > 临时分类 > 高考数学二轮复习课件圆锥曲线9张
1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.3.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.4.了解圆锥曲线的简单应用.5.理解数形结合的思想.1.本部分考查的内容主要是:圆锥曲线的标准方程及几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系,圆锥曲线中的定点、定值及最值问题,轨迹方程的探求,参数的范围问题等.2.(文)对圆锥曲线的考查一直是高考的一个热点,文科多考查圆锥曲线的定义、方程和性质.高考文科试题对圆锥曲线的考查,在客观题中会以求椭圆离心率、双曲线的渐近线方程和定义的应用为主,主观题多以求圆锥曲线方程、圆锥曲线与平面向量相结合组成综合性大题,考查他们的思维能力,实现试题的区分度.(理)理科对本部分的考题类型大部分是二个选择、一个填空、一个解答题.客观题的难度为中等,解答题相对较难,且往往为压轴题.平面向量的介入,增加了本部分高考命题的广度与深度,成为近几年高考命题的一大靓点,备受命题者的青睐,本专题还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识进行综合考查.预计在今年高考中:1.圆锥曲线仍是高考的热点之一主要考查两大类问题:一是根据条件,求出表示平面曲线的方程;二是通过方程,研究平面曲线的性质,其热点有:(1)以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质;(2)求平面曲线的方程和轨迹;(3)圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定;(4)涉及与圆锥曲线对称变换、最值或位置关系有关的问题.2.从题型上看,以解答题为主,难度较大.椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质[例1]已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.2B.3C.115D.3716[分析]直线l2实质是抛物线的准线,而动点P在抛物线上,故可利用抛物线的定义将P到l2的距离转化为P到焦点的距离再结合图形求解.[答案]A[解析]如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为P到F的距离,由图可知,距离和的最小值即F到直线l1的距离d=|4+6|32+42=2.故选A.[评析]这类求距离之和的最小值问题,通常的办法是利用圆锥曲线的定义,将其中的一个距离转化(转化为到另一焦点或到准线的距离),然后结合图形进行分析判断,求得最值,这时往往是在三点共线的情况下取得最值.已知P为椭圆x24+y2=1和双曲线x2-y22=1的一个交点,F1,F2为椭圆的两个焦点,那么∠F1PF2的余弦值为________.[答案]-13[分析]圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征,理解定义是掌握其性质的基础.因此,对于圆锥曲线的定义不仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求|PF1|+|PF2||F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|-|PF2|||F1F2|.[解析]由椭圆和双曲线的方程可知,F1,F2为它们的公共焦点,不妨设|PF1||PF2|,则|PF1|+|PF2|=4|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=3|PF2|=1,又|F1F2|=23,由余弦定理可知cos∠F1PF2=-13.[例2](2011·山东威海检测)设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a,b0)过M(2,2),N(6,1)两点,O为坐标原点.(1)求椭圆E的方程;(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B且OA→⊥OB→?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围;若不存在,说明理由.[分析](1)将已知点的坐标分别代入椭圆的方程,得a,b.(2)假设满足题意的圆存在,依据直线与圆相切的条件及OA⊥OB的坐标关系,来求假设中的圆的半径R,若求出R,则存在,进而求|AB|的取值范围,否则不存在.[解析](1)将M,N的坐标代入椭圆E的方程,得4a2+2b2=16a2+1b2=1,解得a2=8,b2=4.所以椭圆E的方程为x28+y24=1.(2)证明:假设满足题意的圆存在,其方程为x2+y2=R2,其中0R2.设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,当直线AB的斜率存在时,令直线AB的方程为y=kx+m①将其代入椭圆E的方程并整理,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.由韦达定理得x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-82k2+1.②因为OA→⊥OB→,所以x1x2+y1y2=0.③∵y1=kx1+m,y2=kx2+m,∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.联立②,得m2=83(1+k2).④因为直线AB和圆相切,因此R=|m|1+k2,由④得R=263,所以存在圆x2+y2=83满足题意.当切线AB的斜率不存在时,易得x21=x22=83,由椭圆E的方程得y21=y22=83,显然OA→⊥OB→.综上所述,存在圆x2+y2=83满足题意.如右图所示,过原点O作OD⊥AB,垂足为D,则D为切点,设∠OAB=θ,则θ为锐角,且|AD|=263tanθ,|BD|=263tanθ,所以|AB|=263tanθ+1tanθ.因为2≤|OA|≤22,所以22≤tanθ≤2.令x=tanθ,易证:当x∈22,1时,|AB|=263x+1x单调递减.当x∈[1,2]时,|AB|=263x+1x单调递增.所以463≤|AB|≤23.[评析](1)在题解中,结合韦达定理转化条件OA⊥OB,得x1x2+y1y2=0,进而得到关于参数m,k的关系式是解决直线与圆锥曲线相交问题的常用技巧,应熟练掌握.(2)在求|AB|的取值范围时,两种方法均是建立了关于某一变量的函数模型,不过选用的自变量有所不同.在此过程应认真体会自变量选取的方法及其定义域的确定(2011·陕西文,17)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点(0,4),离心率为35.(1)求C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标.[解析](1)将(0,4)代入C的方程得16b2=1,∴b=4,又e=ca=35得a2-b2a2=925即1-16a2=925,∴a=5,∴C的方程为x225+y216=1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3).设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=45(x-3)代入C的方程,得x225+x-3225=1,即x2-3x-8=0,解得x1=3-412,x2=3+412,∴AB的中点坐标x=x1+x22=32,y=y1+y22=25(x1+x2-6)=-65,即中点为(23,-65).[例3]设双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.52D.5[分析](1)利用直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则对应方程组有唯一解得到a、b的关系,进而求出离心率.(2)结合导数知识,以数助形,应用灵活.[答案]D[解析]显然双曲线的渐近线与抛物线的轴不平行,∵双曲线x2a2-y2b2=1的一条渐近线方程为y=bax,由方程组y=baxy=x2+1消去y得x2-bax+1=0有唯一解,∴Δ=0,即ba2-4=0,∴ba=2,∴e=ca=a2+b2a=1+ba2=5.[评析](1)在双曲线的几何性质中,渐近线是其独特的一种性质,也是考查的重要内容,应充分利用双曲线的渐近线方程,简化解题过程.(2)导数与解析几何中斜率问题的有机联系常能出奇制胜.(3)由a、b、c三者中任何两者的等式关系皆可求出e.(2011·烟台市模拟)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若13k12,则椭圆离心率的取值范围是()A.14,94B.23,1C.12,23D.0,12[答案]C[解析]∵13k12,故B在x轴上方,∴Bc,b2a,而A(-a,0),∴k=b2ac+a=b2ac+a2=a2-c2ac+a2=1-e2e+1,由13k12,得131-e2e+112,求得12e23.故应选C.[例4]已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程;(2)若P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的一点,|OP||OM|=λ,求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.[分析]求椭圆C的方程,由条件只需求a,c;而动点M的轨迹,用直接法可求.[解析](1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a、c,由已知得a-c=1,a+c=7,解得a=4,c=3,所以椭圆C的标准方程为x216+y27=1.(2)设M(x,y),其中x∈[-4,4].由已知|OP|2|OM|2=λ2及点P在椭圆C上可得19x2+11216x2+y2=λ2.整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中x∈[-4,4].①当λ=34时,化简得9y2=112,所以点M的轨迹方程为y=±473(-4≤x≤4),轨迹是两条平行于x轴的线段.②当λ≠34时,方程变形为x211216λ2-9+y211216λ2=1,其中x∈[-4,4].当0<λ<34时,点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分.当34<λ<1时,点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分;当λ≥1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上的椭圆.[评析](1)求曲线的轨迹方程,常用的方法主要是直接法、定义法、代入法和待定系数法.(2)在求曲线轨迹方程的过程中,要注意:①全面理解题意,弄清题目中的已知和结论,发现已知和未知的关系,进行知识的重新组合;②合理进行数学语言间的转换,通过审题画出必要的图形或示意图,把不宜于直接计算的关系化为能直接进行数学处理的关系式,把不便于进行数学处理的语言化为便于数学处理的语言;③注意挖掘题目中的隐含的条件;④要注意反馈和检验.(2009·山东文,22)设m∈R,在平面直角坐标系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),a⊥b,动点M(x,y)的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;(2)已知m=14.证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA⊥OB(O为坐标原点),并求该圆的方程.[解析](1)因为a⊥b,所以a·b=0,即(mx,y+1)·(x,y-1)=0,故mx2+y2-1=0,即mx2+y2=1.当m=0时,该方程表示两条直线;当m=1时,该方程表示圆;当m0且m≠1时,该方程表示椭圆;当m0时,该方程表示双曲线.(2)当m=14时,轨迹E的方程为x24+y2=1,设圆的方程为x2+y2=r2(0r1),当切线斜率存在时,可设圆的任一切线方程为y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2),所以|t|1+k2=r,即t2=r2(1+k2).①因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0,整理得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0.②由方程组x24+y2=1y=kx+t,消去y得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,由韦达定理x1+x2=-8kt1+4k2x1·x2=4t2-41+4k2代入②式并整理得(1+k2)4t2-41+4k2-8k2t21+4k2+t2=0,即5t2=4+4k2.结合①式有5r2=4,r=255∈(0,1),当切线斜率不存在时,x2+y2=45也满足题意,故所求圆的方程为x2+y2
本文标题:高考数学二轮复习课件圆锥曲线9张
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