习题7─19--一细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形

习题7─19一细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电量+Q，沿其下半部分均匀分布有电量－Q，如图所示，求圆心O处的电场强度。解：如图所示，在半圆形玻璃棒的上半部分取一线元Rddl，其位置处相应的半径与X轴负向的夹角为，其带电量QdRdlQdldq2)(2，其在O点产生的元场强的大小为2022024RQdRdqdE其方向如图所示。由于各个线元产生的元场强方向不一致，因此需把Ed分解2022sinsinRdQdEdEy由于电荷分布的对称性，最终O点场强的X分量0xE。因此，圆心O处的电场强度的Y分量为20220202sin2RQdRQdEEyy把O处的电场强度写成矢量式为jRQjEEy202习题7─20在真空中有一长为l=10cm的细杆，杆上均匀分布着电荷，已知其电荷线密度mC10015/.，在杆的延长线上，距杆的一端为d=10cm的一点上，有一电量为C100250.q的点电荷，如图所示，试求该点电荷所受的电场力。解法Ⅰ：沿细杆方向建立X轴方向向左，坐标原点就在q0所在处，在细杆上x处取线元dx，其带电为dxdq，线元在q0所在处产生的元场大小为202044xdxxdqdE整个细杆在q0所在处产生的电场大小为)(4)11(440020lddllddxdxdEEldd点电荷q0所受的电场力为EddRddlOdExdEyXY+Q–QR习题7―19图xdxdlq0XO习题7―20图N99.820.010.01085.814.34100.210.0100.1)(41255000lddqlEqF习题7─22如图所示为一沿X轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，已知其电荷线密度为)(0ax，式中0为常量，取0U，求坐标原点O处的电势。解：在棒上x处取线元dx，其带电量dxaxdxdq)(0，其在坐标原点O处产生的元电势为xdxaxxdqdU0004)(4整个带电细棒在坐标原点O处产生的电势为laalaaxaxdxxadUUln4)1(40000alaalln400习题7─25图为一个均匀带电的球壳，其电荷体密度为，球壳内表面半径为R1，外表面半径为R2，设无穷远处为电势零点，求空腔内任一点的电势。解：以O为中心，以r(21RrR)为半径，在球壳内取一厚度为dr的薄球壳，其可看成均匀带电球面，其带电量为drrdVdq24，其在其内部任一点产生的电势为rdrrdrrrdqdU0020444整个球壳在空腔内任一点产生的电势为)(221212202002121RRrrdrdUURRRR习题8—25一圆柱形电容器，外柱的直径为4cm，内柱的直径可以适当选择，若其间充满各向同性的介质，该介质的击穿电场强度大小为E0=200kV/cm，试求该电容器可能承受的最高电压。解：设该电容器的内、外柱半径分别为a和b，内、外柱带电分别为和，则内、外柱间的场分布为rE2(arb)该场强的最大值也是击穿场强E0，可令上式中的r=a，即XOaldxx习题7―22图R1R2rdrO习题7―25图aEEar20两极间的电势差abaEabrdrEdrUbabaablnln220(﹡)根据最值条件，可令0)1(lnln0200abEabbaaEabEdadUab∴1lnab，eba代入(﹡)式即可得到该电容器可能承受的最高电压V1047.17182.2102002530maxEebU习题8—27图示为两个同轴带电长直金属圆筒，内、外筒半径分别为R1和R2，两筒间为空气，内、外筒电势分别为U1=2U0，U2=U0，U0为一已知常量。求两金属筒之间的电势分布。解：两金属筒之间的电势差为120000012ln2222121RRrdrdrEUUUURRRR所以1200ln2RRU设距轴线为r(R1rR2)处的电势为U(r)，则该处与外筒之间的电势差为rRRRUrRrdrdrEUrURrRr21202000ln)ln(ln22)(22因此，rRRRUUrU21200ln)ln()(这就是两金属筒之间的电势分布。习题9—15半径为R的导体球壳表面流有沿同一绕向均匀分布的面电流，通垂直于电流方向的每单位长度的电流为K。求球心处的磁感应强度大小。解：如图所示，取一直径方向为OX轴。并沿电流方向在球面上取一宽度为dl的球带，该球带可以看成载流圆环，其载有的电流为dI=Kdl=KRd，其在球心O处产生的元磁场为RXOθddl题解9―15图dKRRdIdB20320sin22)sin(该元场的方向沿X轴的正方向。球面上所有电流在O点产生的磁感应强度大小为KdKdBB0202041sin22场的方向沿X轴的正方向。习题9—16如图，一半径为R的带电朔料圆盘，其中有一半径为r的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为，当圆盘以角速度旋转时，测得圆盘中心O点的磁感应强度为零，问R与r满足什么关系?解：取与圆盘同心、半径为r、宽度为dr的圆环，其带量电量为rdrdSdq2其等效的圆电流为rdrrdrTdqdI22其在中心O处产生的元场强为drrdIdB00212因此，中心O点的磁感应强度为)2(2121210000RrdrdrdBBRrr令该磁感应强度为零可得rR2习题9—17如图，有一密绕平面螺旋线圈，其上通有电流I，总匝数为N，它被限制在半径为R1和R2的两个圆周之间。求此螺旋线中心O处的磁感应强度。解：以O点为圆心、以r为半径，在线圈平面内取宽度为dr的圆环面积，在此环面积内含有dN=ndr=)(12RRNdr匝线圈，其相应的元电流为dI=IdN。其在中心O点产生的元磁场为rRRNIdrrdIdB)(221200O点最终的磁感应强度为ω习题9―16图rROR1R2OI习题9―17图12120120ln)(2)(221RRRRNIrdrRRNIdBBRR该磁感应强度的方向垂直于图面向外。习题9—23半径为R的圆盘带有正电荷，其电荷面密度kr，k是常数，r为圆盘上一点到圆心的距离，圆盘放在一均匀磁场B中，其法线方向与B垂直。当圆盘以角速度绕过圆心O点且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋转时，求圆盘所受磁力矩的大小和方向。解：在圆盘上取半径为r、宽度为dr的细圆环，环面积为rdrdS2，环的带电量为drkrrdrkrdSdq222。其等效环电流为drrkdqTdqdI22其元磁矩大小为drrkrdIdPm42mPd的方向垂直于纸面向外。整个转动圆盘的磁矩为50451RkdrrkdPPRmmmP的方向垂直于纸面向外。根据线圈在磁场中所受磁力矩公式BPM可得圆盘所受磁力矩的大小为BRkBRkBPMm55512sin51sinM的方向垂直于B向上。习题9—24如图所示，载有电流I1和I2的长直导线ab和cd相互平行，相距为3r，今有载有电流I3的导线MN=r水平放置，且其两端M、N分别与I1、I2的距离都是r，ab、cd和MN共面，求导线MN所受的磁力大小和方向。解：建立图示坐标系，在I1和I2之间任一点x处的磁感应强度(暂设垂直于纸面向里为正)为RB习题9―23图abcdI1I2MNI3rrr习题9―24图ldI3Fd)(xBMNI3xx+dxX题解9―24图)3(22)(2010xrIxIxBMN上电流元dxI3受到的力为dxBIdF3，方向“↑”整个MN受到的力的大小为dxIxrIxIdFdFrr322010)3(222ln)(22130III，方向“↑”讨论：若21II，则F方向向上；反之，若21II，则F方向向下。习题11—12两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b的金属杆CD与两导线共面且垂直，相对位置如图。CD杆以速度v平行于直线电流运动，求CD杆中的感应电动势，并判断C、D两端哪端电势高？解：建立图示坐标系，X轴水平向右，原点O在左边直导线处。在CD杆上任一点x处、由两平行无限长的直电流产生的磁感应强度(规定垂直于纸面向外为正)为xIaxIxB2)(2)(00在CD上x处取线元ld，其方向C→D，即idxld。在该线元的元电动势为dxxBldBdi)(vv整个CD杆中的感应电动势为babaIdxxaxIdbaaii2)(2ln21120220vvi的方向C→D，因此，D端电势高。习题11—15一无限长直导线通有电流teII30。一矩形线圈与长直导线共面vaabCDII习题11―12图ablI放置，其长边与导线平行，位置如图所示。求：(1)矩形线圈中的感应电动势的大小及感应电流的方向；(2)导线与线圈的互感系数。解：(1)设矩形线圈回路的绕行方向为顺时针的。在线圈内距长直导线为x处取宽度为dx、长度为l的矩形窄条面积，则通过该窄条面积的元磁通量为ldxxtIBdSSdBd2)(0通过整个矩形线圈的磁通量为abltIxdxltIdbaln2)(2)(00所以，矩形线圈中的感应电动势为abelIeIdtdabldttdIabldtdttiln23)(ln2)(ln23003000因为i0，所以该结果就是矩形线圈中感应电动势的大小；并且仍然因为i0，该感应电动势的方向为顺时针的，相应的感应电流亦为顺时针方向的。(2)根据定义，导线与线圈的互感系数为ablIMln20习题11—17如图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度在水平面内旋转。O1O2在离细杆a端L/5处。若已知地磁场在竖直方向的分量为B。求ab两端的电势差baUU。解：在细杆上距O点为l处取线元dl，方向a→b，其上产生的元电动势为cosBldBdivv细杆上的总电动势05540cos0cosLLiabvBdlvBdld05540LLldlBldlB222103501258BLBLBL0ab，说明细杆上的总电动势的方向为a→b，即UaUb，因此，ab两端的电势差为2103BLUUabbaL/5BO1O2Oab习题11―17图习题11—18一无限长直导线通以电流tIIsin0，和直导线在同一平面内有一矩形线框，其短边与直导线平行，线框的尺寸及位置如右图所示，且b/c=3。求：(1)直导线和线框的互感系数；(2)线框中的互感电动势。解；(1)设矩形线框回路的绕行方向为顺时针的，则线框回路所围面积的法向垂直纸面向里。在距长直导线为r处取宽度为dr、长度为a的窄条面元dS，通过其元磁通量为adrrIBdSSdBdcos2cos0式中为面元法向(垂直纸面向里)与磁感应强度B方向间的夹角。通过整个线框回路所围面积的磁通量为bcrdrrdrIad000cos0cos2