1.3.2-函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数2f(x)=3x+6解：x-24令f(x)=0，.=3(x+4)(x-2)321.求出函数f(x)=x+3x-24x-20的单调区间.临点12得界x=-4,x=2区间(-∞，-4)-4(-4，2)2(2，+∞)f′(x)00f(x)f(x)在(-∞，-4)，(2，＋∞)内单调递增，你记住了吗？求导数—求临界点—列表—写出单调性++-f′(x)0(x+4)(x-2)0x-4或x2f(x)在(-4，2)内单调递减.f′(x)0(x+4)(x-2)0-4x2↗↗↘1.探索并应用函数极值与导数的关系求函数极值.（重点）2.利用导数信息判断函数极值的情况.（难点）（）（2）如图1和图,函数y=fx在a,b,c,d,e,f,g,h,i,j等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=fx在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y=fx的导数的符号有什么规律?cdefoghijxyxfyaboxyxfy图（1）图（2）探究点函数的极值与导数aboxyxfy.提示：以a,b两点为例,我们可以发现,函数y=fx在点x=a的函数值fa比它在点x=a附近其他点的函数值都小,a=0;而且在点x=a附近的左侧x0,右侧x0fff类似地,函数y=fx在点x=b的函数值fb比它在点x=b附近其他点的函数值都大,b=0;而且在点x=b附近的左侧x0,右侧x0.fff我们把点a叫做函数y=fx的极小值点,fa叫做函数y=fx的;极小值.点b叫做函数y=fx的极大值点,fb叫做函数y=fx的极大值极小值点、极大值点统称为.极大值和极小值统称extremevalue.为极值点极值极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质.a1x2x3xo4x5x6xbxyxfy如图,观察区间a,b上函数y=fx的图象,你能找出它的极大值、极小值吗?所示.提示：135246观察图象,我们发现,fx,fx,fx是函数y=fx的极小值,fx,fx,fx是函数y=fx的极大值【即时训练】探究：根据函数极值的概念,回答下列问题:(1)函数的极值点是否只能有一个?区间的端点能不能成为函数的极值点?提示:函数在其定义域上的极值点可能不止一个,也可能没有;极值点是函数定义域中的点,因而端点不可能是极值点.(2)函数的极值点与函数的单调区间有什么关系?提示:极大值点是函数递增区间与递减区间的分界点,极小值点是函数递减区间与递增区间的分界点.(3)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是什么?提示:f′(x0)=0,且在x0的左、右两侧,f′(x)的符号不同.（4）函数的极大值一定比极小值大吗？提示：不一定.注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质.因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值.对函数极值概念的两点说明(1)与单调性的关系:若函数y=f(x)在(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内不是单调函数.(2)极值点的分布:若函数y=f(x)在(a,b)内有极值,它的极值点的分布是有规律的,即相邻两个极大值点之间必有一个极小值点;同样,相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般来说,当函数y=f(x)在(a,b)上连续变化且有有限个极值点时,函数y=f(x)在(a,b)内的极大值点、极小值点是交替出现的.下面正确的是.A.可导函数必有极值B.可导函数在极值点的导数一定等于零C.函数的极小值一定小于极大值（设极小值、极大值都存在）D.函数的极小值（或极大值）不会多于一个B【即时训练】31求函数fx=x-4x+43例的极值.'令fx=0,得x=2或x=-2.当时'fx0,即x2或x-2;当时'fx0,即-2x2.3'21fx=x-4x+4,3fx=x-4=x-2x+2.：为因所以解'x-∞,-2-2-2,222,+∞fx+0-0+284fx增-增33单调递单调递减单调递当变时变况'x化,fx,fx的化情如下表:当时为因此,x=-2,fx有极大28值,并且极大值f-2=;3当时为x=2,fx有极小值,并且4极小值f2=-.3数图图31函fx=x-4x+4的象如所示.3吗极大值一定大于极小值?导数值为0的点一定是函数的思考极值点吗?22oxy31443fxxx的也解说答就：是3233导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如,对于函数fx=x,我们有x=3x.虽然0=0,但由于无论x0,还是x0,恒有x0,即函数fx=x是单调递增的,所以x=0不是函数fx=x极值点.,函数y=fx在一点的导数值为0是函数y=fx在这点取极值的必要条件,而非充分条件.fff求可导函数f(x)极值的步骤：(2)求导数f′(x).(3)求方程f′(x)=0的根.(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的符号•如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；•如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.(1)确定函数的定义域.【提升总结】0一般地,求函数y=fx的极值的方法是:解方ff程x=0.当x=0时:002如果在x附近的左侧x0,右侧x0,那么ffxf是极小值.001如果在x附近的左侧x0,右侧x0,那么ffxf是极大值.求函数的极值.261xyx解:2226(1).(1)xyx令=0,解得x1=-1,x2=1.y当x变化时,,y的变化情况如下表:yx(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y'-0+0-y↘极小值-3↗极大值3↘因此,当x=1时有极大值,并且,y极大值=3;而,当x=-1时有极小值,并且,y极小值=-3.【变式练习】1．函数y=1+3x－x3有()A.极小值－1，极大值1B.极小值－2，极大值3C.极小值－2，极大值2D.极小值－1，极大值3D2．函数y＝(x2－1)3＋1的极值点是()A.极大值点x=－1B.极大值点x=0C.极小值点x=0D.极小值点x=1C3.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)（）A.无极大值点，有两个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点Cxoyf´(x)4.（2016·四川高考）已知a函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=（）A.-4B.-2C.4D.2D5.若函数f(x)=mcosx-sinx在x=处取得极值,则m=____.【解析】函数f(x)=mcosx-sinx,所以f′(x)=-msinx-cosx.因为函数在x=处取得极值,所以f′()=-msin-cos=0,解得m=-.答案:-12412124441212412象32006.已知函数f(x)=ax+bx+cx在点x处取得极大值5,其导函数y=(x)的图(如图)过点（1,0）（,2,0）.求：（1）x的值.（2）a,b,c的值.f2,9,12abc.解得,,2b33ac23a－或//(),(),f13a2bc0f212a4bc0＝01.x解：(1)由图象可知：/2(32(0)fxaxbxca）＝　　，()f1abc5，(2)注意数形结合极值定义两个关键（1）可导函数y=f(x)在极值点处的f′(x)=0.（2）极值点左右两边的导数必须异号.三个步骤（1）确定定义域.（2）求f′(x)=0的根.（3）列成表格.用方程f′(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格，由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况.我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力的好机会。——邹韬奋