函数极值的求法(1)

一、函数极值的定义oxyab)(xfy1x2x3x4x5x6xoxyoxy0x0x.)()(,)()(,,,;)()(,)()(,,,,),(,),()(000000000的一个极小值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点任何点对于这邻域内的的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf定义函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.二、函数极值的求法设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理1(必要条件)定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf注意:.,)(是极值点但函数的驻点却不一定点的极值点必定是它的驻可导函数xf例如,,3xy,00xy.0不是极值点但x(1)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx,有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理2(第一充分条件)xyoxyo0x0x(是极值点情形)xyoxyo0x0x求极值的步骤:);()1(xf求导数;0)()2(的根求驻点，即方程xf;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查xf.)4(求极值(不是极值点情形)例1解.593)(23的极值求出函数xxxxf963)(2xxxf，令0)(xf.3,121xx得驻点列表讨论x)1,(),3()3,1(13)(xf)(xf00极大值极小值)3(f极小值.22)1(f极大值,10)3)(1(3xx593)(23xxxxfMm图形如下设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0'xf,0)(0''xf,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.定理3(第二充分条件)证)1(xxfxxfxfx)()(lim)(0000,0异号，与故xxfxxf)()(00时，当0x)()(00xfxxf有,0时，当0x)()(00xfxxf有,0所以,函数)(xf在0x处取得极大值例2解.20243)(23的极值求出函数xxxxf2463)(2xxxf，令0)(xf.2,421xx得驻点)2)(4(3xx,66)(xxf)4(f,018)4(f故极大值,60)2(f,018)2(f故极小值.4820243)(23xxxxf图形如下Mm注意:.2,)(,0)(00仍用定理处不一定取极值在点时xxfxf例3解.)2(1)(32的极值求出函数xxf)2()2(32)(31xxxf.)(,2不存在时当xfx时，当2x;0)(xf时，当2x.0)(xf.)(1)2(的极大值为xff.)(在该点连续但函数xf注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.M三、小结极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.函数的极值必在临界点取得.判别法第一充分条件;第二充分条件;(注意使用条件)思考题下命题正确吗？如果0x为)(xf的极小值点，那么必存在0x的某邻域，在此邻域内，)(xf在0x的左侧下降，而在0x的右侧上升.思考题解答不正确．例0,20),1sin2(2)(2xxxxxf当0x时，)0()(fxf)1sin2(2xx0于是0x为)(xf的极小值点当0x时，当0x时，,0)1sin2(2xxx1cos在–1和1之间振荡因而)(xf在0x的两侧都不单调.故命题不成立．xxxxf1cos)1sin2(2)(一、填空题：1、极值反映的是函数的________性质.2、若函数)(xfy在0xx可导，则它在点0x处到得极值的必要条件中为___________.3、函数32)1(2xy的极值点为________；31)1(23xy的极值为__________.4、已知函数0,10,)(3xxxxxfx当_______x时，为极________y小值；当时________x，为极________y大值.练习题二、求下列函数的极值：1、xeyxcos；2、xxy1；3、方程02yeyx所确定的函数)(xfy；4、0,00,21xxeyx.三、证明题：1、如果dcxbxaxy23满足条032acb，则函数无极值.2、设)(xf是有连续的二阶导数的偶函数0)(xf，则0x为)(xf的极值点.一、1、局部；2、0)(0xf；3、(1,2),无；4、1,0,)1(,13eee;二、1、极大值keky2422)24(,极小值),2,1,0(22))12(4()12(4kekyk；2、极大值eeey1)(；3、极小值1)0(y；4、极小值0)0(y.练习题答案