【中考备战策略】2014中考数学总复习-第31讲-与圆有关的位置关系课件-新人教版

第31讲与圆有关的位置关系1．经过三点作圆(1)经过同一直线上的三点不能作圆；(2)经过不在同一直线上的三点，能且只能作一个圆．考点一过三点的圆2．三角形的外接圆经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．3．三角形外接圆的作法(1)确定外心：作任意两边的中垂线，交点即为外心；(2)确定半径：两边中垂线的交点到三角形任一个顶点的距离作为半径．温馨提示锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部.1．直线与圆的位置关系的有关概念(1)直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时的直线叫做圆的割线；(2)直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，唯一的公共点叫做切点，这时的直线叫做圆的切线；(3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．考点二直线与圆的位置关系2．直线和圆的位置关系的性质与判定如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：(1)直线l和⊙O相交⇔dr；(2)直线l和⊙O相切⇔d＝r；(3)直线l和⊙O相离⇔dr.1．切线的判定方法(1)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)过半径外端点并且和这条半径垂直的直线是圆的切线．考点三切线的判定和性质2．切线的性质(1)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；(2)推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；(3)推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．温馨提示1.要证的直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，此时可直接根据“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“见半径，证垂直”.2.给出了直线与圆的公共点，但未给出过这点的半径，则连接公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”来证明.口诀是“连半径，证垂直”.3.当直线与圆的公共点不明确时，则过圆心作该直线的垂线，然后根据“圆心到直线的距离等于圆的半径，该直线是圆的切线”来证明.口诀是“作垂直，证相等”.1．切线长：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．2．切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角．考点四切线长定理1．与三角形内切圆有关的一些概念和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．考点五三角形的内切圆2．三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．温馨提示确定三角形的内心，只需画出两内角平分线的交点即可；内心与三角形各顶点的连线平分三角形各内角.1．圆内接正多边形与外切正多边形：把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点所得的多边形是圆的内接正n边形，这个圆是正n边形的外接圆；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，这个圆是正n边形的内切圆．2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．考点六正多边形与圆考点一直线与圆的位置关系例1(2012·无锡)已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交【点拨】分两种情况考虑：(1)当OP垂直于直线l时，圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切；(2)当OP不垂直于直线l时，圆心O到直线l的距离d＜2＝r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．故选D.【答案】D方法总结根据直线上的点到圆心的距离判断直线与圆的位置关系，一定要分清这个点到圆心的距离是不是直线到圆心的垂直距离.考点二切线的判定与性质例2(2013·孝感)如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若PD＝3，求⊙O的直径．【点拨】本题考查切线的判定，连接圆心与切点，证明垂直是常用的方法．解：(1)证明：如图，连接OA,∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°.又∵AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°.∴OA⊥PA.∴PA是⊙O的切线．(2)在Rt△OAP中，∵∠P＝30°，∴PO＝2OA＝OD＋PD.又∵OA＝OD，∴PD＝OA.∵PD＝3，∴2OA＝2PD＝23.∴⊙O的直径为23.方法总结证明直线是圆的切线的方法：1直线与圆有公共点，且有连接公共点的半径，可证明半径与直线互相垂直，记为“有半径，证垂直”；2直线与圆有公共点，但没有连接公共点的半径，可连接半径，证明半径与直线互相垂直，记为“连半径，证垂直”；3没有指明直线和圆的公共点，可以过圆心作直线的垂线段，证明等于半径，记为“作垂直，证半径”.考点三圆与圆的位置关系(选学)例3(2013·南京)如图，⊙O1，⊙O2的圆心O1，O2在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm，O1O2＝8cm.⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，在此过程中，⊙O1与⊙O2没有出现的位置关系是()A．外切B．相交C．内切D．内含【点拨】当停止运动时，d＝8－7＝1＝3－2，此时两圆内切，且在左侧内切，∴在运动的过程中，两圆的位置关系有外切、相交、内切，但没有内含．故选D.【答案】D方法总结判断两圆的位置关系关键是求出两圆圆心的距离以及两圆半径的和与差，然后作出比较，得出相应的结论.1．已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为(C)A．0B．1C．2D．无法确定解析：∵⊙O的直径为12cm，∴⊙O的半径为6cm.又圆心到直线的距离为5cm,6cm5cm，∴直线与圆相交，因此直线与圆有2个交点．故选C.2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB.若∠ABC＝70°，则∠A等于(B)A．15°B．20°C．30°D．70°解析：因为BC与⊙O相切于点B，∠ABC＝70°，则∠ABO＝20°，又因为OA＝OB，所以∠A＝∠ABO＝20°.故选B.3．在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，点P在边AB上，且BP＝3AP.如果⊙P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是(C)A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外，点C在圆P内C．点B在圆P内，点C在圆P外D．点B，C均在圆P内解析：如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝35，且BP＝3AP，∴AP＝2，BP＝6.∴PD＝22＋352＝7，PC＝62＋352＝9.∴BPPD，PCPD.∴点B在圆P内，点C在圆P外．故选C.4．如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是(C)A．－1≤x≤1B．－2≤x≤2C．0x≤2D．x2解析：如图，当过点P的直线与⊙O在右边相切时，x取得最大值．设切点为C，连接OC，则OC⊥CP.在Rt△OCP中，OC＝1，∠OPC＝∠AOB＝45°，∴OP＝2，即x＝2.同理当过点P的直线与⊙O在左边相切时，x＝2，∴0OP≤2.故选C.5．如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC＝70°.解析：如图，连接OB，OC，∴∠BOC＝2∠BAC＝110°，∵PB，PC与⊙O相切，∴∠PBO＝∠PCO＝90°.∴∠BPC＋∠BOC＝180°.∴∠BPC＝180°－110°＝70°.6．如图所示，已知A点从(1,0)点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O，A为顶点作菱形OABC，使B，C点都在第一象限内，且∠AOC＝60°，又以P(0,4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t＝43－1.解析：如图，以P(0,4)为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切．连接PC，作PD⊥OC于点D，则∠POC＝90°－∠AOC＝90°－60°＝30°.∴OD＝32OP＝32×4＝23.∴OC＝2OD＝43，∴OA＝OC＝43，则t＝43－1.7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)若AC＝25，CD＝2，求⊙O的直径．解：(1)证明：如图，连接OC.∵直线DC切⊙O于点C，∴OC⊥DC.∵AD⊥DC，∴OC∥AD.∴∠OCA＝∠DAC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，即AC平分∠BAD.(2)在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD＝AC2－CD2＝252－22＝4.如图，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又∵∠DAC＝∠OAC，∴Rt△ADC∽Rt△ACB，∴ACAB＝ADAC，∴AB＝AC2AD.∵AC＝25，AD＝4，∴AB＝2524＝5.考点训练一、选择题(每小题4分，共48分)1．⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是(B)A．相切B．相交C．相离D．不能确定解析：∵⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，∵8＞4，即D＜r，∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选B.2．(2013·义乌)两圆半径分别为2和3，圆心距为5，则这两个圆的位置关系是(D)A．内切B．相交C．相离D．外切3．(2013·黔东南)Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为(B)A．2cmB．2.4cmC．3cmD．4cm解析：作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，由勾股定理，可得AB＝5(cm)．再由面积法，求得CD＝2.4(cm)，即r的值为2.4cm.故选B.4．(2013·枣庄)如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是(A)A．30°B．45°C．60°D．90°解析：根据题意知，当∠OAP取最大值时，OP⊥AP，如图所示．在Rt△AOP中，∵OP＝OB，OB＝AB，∴AO＝2OP，∴∠OAP＝30°.故选A.5．(2013·乌鲁木齐)如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，若BG＝2－1，则△ABC的周长为(A)A．4＋22B．6C．2＋22D．4解析：如图，连接OD，OE，∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，∴∠C＝∠OEB＝∠OEC＝∠ODC＝90°，∴四边形ODCE是矩形．又∵OD＝OE，∴四边形ODCE是正方形，∴CD＝CE＝OE.∵∠A＝∠B＝45°，∴△OEB是等腰直角三角形．设OE＝r，则BE＝OG＝r，∴OB＝OG＋BG＝r＋2－1，∵OB＝2OE＝2r，∴r＋2－1＝2r，∴r＝1.∴AC＝BC＝2r＝2，AB＝2OB＝2×(1＋2－1)＝22.∴△ABC的周长为AC＋BC＋AB＝4＋22.故选A.6．(2013·重庆)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为(C)A．40°B．50°C．65°D．75°解析：∵AB是⊙O的切线，∴∠OBA＝90°，∴∠O＝90°－∠BAO＝90°－40°＝50°.又∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝12×(180°－50°)＝65°.故选C.7．(2013·烟台)如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是(D)A．6cmB．3cmC．2cmD．0.5cm解析：由题意知当两圆内切时，圆心距最小，此时圆心距为1cm，所以圆心距不可能是0.5cm.故选