第8章-平面问题的复变函数解

第八章平面问题的复变函数解知识点双调和方程的复变函数表达形式应力分量复变函数表达式应力分量的单值条件多连域的K-M函数无穷远应力与K-M函数位移分量的曲线坐标表达保角变换公式与K-M函数柯西积分确定K-M函数孔口应力裂纹前缘应力分布双调和函数的复变函数形式位移分量的复变函数表达形式位移分量的单值条件无限大多连域中K-M函数的一般形式保角变换和曲线坐标应力分量的曲线坐标表达式利用孔口边界条件确定K-M函数椭圆孔口的保角变换裂纹—短轴为零的椭圆切应力作用的裂纹前缘应力一、内容介绍通过直角坐标和极坐标系，可以求解一些弹性力学平面问题。但是，这些方法只能用于某些边界比较特殊的平面问题，特别是对于多连域问题更显得无能为力。本章介绍复变函数解法，实质仍然是在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，但应用中成为在给定的边界条件下寻找两个解析函数K-M函数的问题。求解分析步骤为：1、分别将应力函数、应力分量、位移和边界条件等表示为复变函数形式，就是用K-M函数表示；2、探讨无限大多连域中，K-M函数的表达形式，将其表示为级数形式；3、利用保角变换将无限大多连域映射为单位圆，使得问题的边界条件简化；4、将边界条件转化为柯西积分，求解级数系数，从而使得问题求解。如果你还没有学习复变函数课程，请你学习附录2或者查阅有关参考资料。二、重点1、K-M函数与应力函数、应力分量、位移和边界条件等；2、无限大多连域的K-M函数形式；3、保角变换与曲线坐标；4、椭圆孔口与平面裂纹问题。§8.1应力函数的复变函数表示学习思路：弹性力学应力解法的基本方程是双调和方程，问题求解的关键是建立满足边界条件的双调和函数。对于复变函数解，重要的问题是将双调和函数表达为复变函数形式。本节首先将双调和方程表示为复变函数形式；然后通过积分用解析函数表示双调和函数。学习时应该注意：应力函数为实函数，通过复变函数表达的双调和函数也是实函数，因此应力函数虚部等于零。上述分析的结果是使得应力函数通过两个单值解析函数和(z)表示。和(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M函数；或者称为复位势函数。学习要点：1、双调和方程的复变函数表达形式；2、双调和函数的复变函数形式1、双调和方程的复变函数表达形式在弹性力学的复变函数求解中，应力函数用U（x，y）表示，有其它定义。设应力函数U（x，y）为双调和函数，首先考虑变形协调方程的复变函数表达形式。对于复变函数z=x+iy，取其共轭，则=x-iy。因此z和均为x，y的函数。复变函数z可以写作z=ei，其共轭=e-i，因此z和又可以表示为坐标和的函数。同理，x，y也可以表示为z和的函数，有因此，应力函数也可以表示为复变函数z和的函数，有注意到应力函数U（x，y）对坐标x，y的导数也可以表示为对复变函数z和的求导运算，有将上式的后两式相加，可以得到调和方程的复变函数表达形式双调和方程的复变函数表达式为2、双调和函数的复变函数形式对于应力函数U（z）的复变函数表示。将双调和方程的复变函数表达式乘以2，并对作积分，可得对再作一次积分，可得对z作一次积分，可得对z再作积分一次，可得应力函数U(z)的复变函数表达式中，有四个待定函数。注意到应力函数为实函数，因此公式右边的复变函数的虚部必须为零。所以上述函数必须是两两共轭的，即或者因此应力函数可以用两个待定函数表示为或者上述公式称为古尔萨（Goursat）公式。公式将双调和函数通过两个复变函数和(z)表达。和(z)称为克罗索夫－穆斯赫利什维利函数，简称K-M函数，均为单值解析函数。Re为表示复变函数实部的符号。§8.2应力分量的复变函数表示学习思路：应力函数已经通过K-M函数表示，但是这还不够，为了下一步的工作，本节的工作是将应力分量表示为复变函数形式，即使用K-M函数表示应力分量。这一工作的主要内容是写出K-M函数对直角坐标的偏导数，应该注意，本章应力分量表达式也是写作复变函数表达形式的。本节引入复变函数，和这主要是简化公式的描述，并没有增加未知函数。上述函数均称为K-M函数。学习要点：1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示；2、应力分量表达式1、K-M函数对直角坐标导数的复变函数表示对于无体力的弹性力学问题。如果选取的应力分量满足则上述应力分量自然是满足平衡微分方程的。这里的问题是选取的应力函数是复变函数形式表达的，而且是由K-M函数描述的。因此，应力分量也必须通过K-M函数表达。根据公式有将上述两式相加，可以得到将上式分别对x和y求一阶导数，可得其中2、应力分量表达式上述公式的第一式减去第二式乘以i，可得即将公式的第一式加上第二式乘以i，可得取其共轭，则上述公式推导中，引入和。公式是用单值解析函数和(z)表示的应力分量，自然满足平衡微分方程和变形协调方程。§8.3位移的复变函数表示学习要点与思路：本节工作是将位移分量表示为复变函数形式，通过K-M函数表达弹性体位移。对于应力解法，如果应力函数满足变形协调方程，则单连域问题应力函数描述的变形已经是协调的。一般的讲，不需要专门分析位移。但是对于复变函数弹性力学解，处理的问题均为多连域问题，因此位移单值连续条件即使对于应力解法也是不可缺省的。在位移的复变函数表达式推导中，首先将几何方程代入物理方程的前两式，得到位移偏导数的表达式，这是K-M函数对x，y坐标的偏导数。积分确定位移表达式，并且根据物理方程的第三式，确定弹性体的刚体位移，写出K-M函数表达的位移复变函数表达形式。学习要点：1、K-M函数表达的位移偏导数表达式；2、积分确定位移分量；3、位移分量的复变函数表达形式1、K-M函数表达的位移偏导数表达式对于平面应力问题，根据物理方程和几何方程的前两式，可得其中设。由于K-M函数为解析函数，其连续可导，应满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件，即由于取其共轭因此可得即将上式代入公式可得2、积分确定位移分量将公式分别对x和y积分，可得根据几何方程的第三式和切应力表达式代入切变胡克定理，上式可以写作将位移表达式代入上式，则整理可得根据柯西-黎曼条件，公式左边第一项为零，所以因此，g(x)=x+v0,f(x)=y+u0。这一结果说明：g(x)和f(y)表示刚体位移，因此对于变形分析，可以略去不计。即公式可以表示为3、位移分量的复变函数表达形式将上述两式相加，则可得K-M函数表示的位移分量。有整理可得或者写作上述分析表明，如果已知K-M函数和(z)时，则平面应力状态下的位移分量也是确定的。对于平面应变问题，只须将弹性模量和泊松比做对应的替换则可。§8.4边界条件的复变函数表示学习思路：边界条件应用是弹性力学分析的重要步骤，本节讨论应用K-M表示面力边界条件。由于应力和位移分量都是复变函数表示的，为方便进一步的分析，面力边界条件也需要用K-M函数表达。在直角坐标系中，边界条件是以函数形式表示的，对应于一点的边界条件。而在复变函数解中，更多使用边界线段的表达形式，这是复变函数性质决定的。用复变函数描述的面力边界条件有三个。显然，这三个关系式不是独立的，仅有两个独立关系。学习要点：1、任意一点的面力边界条件复变函数表达；2、边界线段AB的面力边界条件：3、边界力矩与K-M函数的关系：4、位移边界条件：思考题：1、根据上述面力边界条件说明：对于单连域弹性体，K-M函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。（解答）1、任意一点的面力边界条件复变函数表达对于弹性力学平面问题，其面力边界条件为将复变函数表示的应力分量表达式代入上式，则设AB为弹性体的任意一段边界，而s是从边界上一点A量取的弧长（边界的外法线n指向弧长的右边），如图所示则由几何关系将上式代入公式可得将上述面力矢量用复数形式表达为Fsx+iFsy，则将公式代入上式，可得即2、边界线段AB的面力边界条件公式的左边表示边界面力矢量在微分线段ds上的主矢量。将公式沿边界从定点A到动点B（设B点的坐标为z）积分，则可得边界面力矢量在弹性体边界线段AB上的主矢量由于在K-M函数和(z)中，增加或减少一个复常数并不影响应力值，因此可以适当的选取K-M函数，使上式的常数为零。则上述公式表示了边界面力矢量与K-M函数和(z)之间的关系。显然对于给定的面力矢量，公式的右边为边界点的确定的函数，即已知函数；而左边为坐标z从弹性体区域内部向区域的边界趋近时的复位势函数值。3、边界力矩与K-M函数的关系如果将边界线段AB的面力矢量对坐标原点取矩，并利用关系式可以得到对上式作分部积分，可得注意到和回代可得公式的左边在外力给定的条件下，为边界点的确定函数。公式的右边为K-M函数由弹性体内部向边界趋近时的数值。4、位移边界条件下面再讨论位移边界条件，当边界位移给定时，设边界位移为u=u,v=v则根据位移边界条件，有上式即为K-M函数表示的位移边界条件。到此为止，求解弹性力学平面问题，由在给定的边界条件下求解双调和方程的问题，变换为在给定的边界条件下寻找解析函数和(z)的问题。思考题：1、根据上述面力边界条件说明：对于单连域弹性体，K-M函数为单值解析函数，而对于多连域，K-M函数将不再是单值的。解答：如讨论的物体为单连域，由于和均为单值解析函数。因此，当A和B重合时，也就是说积分曲线闭合时，则＝0，这表明作用在物体边界上的边界面力，必组成一个平衡力系。这一结论是必然的，要使问题有解，边界上的面力必须满足这个条件。§8.5多连域中φf(z)和(z)的一般表达式学习思路：本节的主要任务是确保描述应力和位移分量的K-M函数的单值性。单连域中的单值解析函数和(z)在多连域可能不再是单值的。因此K-M函数和(z)表示的应力和位移形式也可能不再单值。要保证应力和位移分量的单值性，必须讨论K-M函数和(z)在多连域中的可能形式。首先分别根据应力分量的单值条件，将K-M函数和(z)分解为单值解析函数和可能的多值函数两部份，构造可能的K-M函数和(z)的形式。然后根据位移的单值条件和内边界面力边界条件确定待定的系数。最后得到多连域中位移和应力分量单值连续的K-M函数形式。学习要点1、单连域中的单值解析函数和(z)在多连域中可能是多值的；2、应力分量的单值条件；3、位移分量的单值条件；4、多连域中位移和应力分量单值连续的K-M函数形式：1、单连域中的单值解析函数和(z)在多连域中可能是多值的对于弹性力学的应力解法，若K-M函数和(z)满足公式，即则应力分量已经满足平衡微分方程，变形协调方程，对于单连域问题，和(z)均为单值解析函数。根据边界条件，问题就可以求解。但是对于多连域问题中，K-M函数和(z)可能表现为多值函数，尽管它们在单连域中是单值连续的解析函数。对于多连域弹性体S，具有m个内边界和一个外边界，而分别为内边界中的点，如图所示那么如何选择这些K-M函数，才能保证应力分量和位移分量的单值连续条件呢。这里的原则是保证应力和位移分量的单值性，分别根据应力分量的单值条件，构造可能的K-M函数和(z)的形式，然后根据位移的单值条件和面力边界条件确定待定的系数。2、应力分量的单值条件由于应力分量必须是单值的，而应力分量与K-M函数的关系，有所以的实部，即Re必须是单值的。假如函数环绕多连域内部任意一个内边界lk绕行一周时，如果多值，只能是虚部多值。根据应力表达式其多值部分只能是一个虚常数增量。为方便进一步分析，令此虚数增量为2iAk，其中Ak为实常数。根据复变函数性质，若复变函数绕lk一周，如果有增量，其只能是对数函数产生的。因此设由两部分组成，一部分是在S内单值解析的；另一部分是Akln(z-zk)，则其绕lk一周有增量2iAk。有当绕lk一周时，除了Akln(z-zk)以外，其余各项均恢复原值。其中zk为lk内任一点，即其在域S之外。对上式积分可得应该注意的是，在多连域内是单值连续的，但是其积分却不一定是单值连续的。设其有增量2iCk，则将上式代入复位势函数表达式，可得上式中，Ak为实常数，而k为复常数。即