一元二次方程知识点总结

一元二次方程一、定义1.一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。2.一般式：)0(02acbxax其中2ax为二次项，其系数为a；bx为一次项，其系数为b；c为常数项。3.根：如果0x满足)0(0020acbxax，则0x就是方程)0(02acbxax的一个根。判断一个方程是否是一元二次方程，（从定义出发），必须符合以下四个标准：（1）整式方程；（2）方程中只有一个未知数；（3）化简后方程中未知数的最高次数是2；（4）未知数次数为2的项系数不为0。二、一元二次方程的解法I一般解法1.直接开平方法对于形如mx2或)0,0()(2mambax的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。例：2(3)81x，直接开平方,39x2.配方法通过配方把一元二次方程转化成形如mbax2)(的方程，再运用直接开平方法的方法求解。例：22840xx，配方，22(2)4x3.因式分解法因式分解法分解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0。即：若0ab，则0a，或0b。对于二次三项式)0(02acbxax如果可以因式分解，则必可以分解成))((21xxxxa，其中21,xx是方程)0(02acbxax的两个根。当一元二次方程)0(02acbxax无实数根时，二次三项式)0(02acbxax无法在实数范围内分解。因式分解法一般步骤：（1）将方程化成一元二次方程的一般形式；（2）把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；（3）令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；（4）解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。4.公式法公式法的一般步骤：（1）把一元二次方程化为一般式；（2）确定a,b,c的值；（3）代入acb42中计算其值，判断方程是否有实数根；（4）若042acb，代入求根公式求值；否则，原方程无实数根；（先计算acb42判断符号，减少计算量，而且求根公式对于任何一个一元二次方程都适用）II、特殊一元二次方程的解法1、含有无理数一元二次方程利用十字相乘的因式分解法求解（注意：分母有理化）2、含有参数的一元二次方程222432103211xaxaaaa对因式分解后，再对整体因式分解一般我们称之为“双（）、常见如十字相乘”22mxx（）、需要分类讨论的情况如：关于的方程……有根方程是几次方程讨论：二次项系数是否为0根的个数（3）绝对值方程2212xx、将当做找零点常用方程解法、零点分段法分区间讨论化简求值（4）高次方程常见处理方法3221,234xxxx、代入降次如将处理为将换掉、换元（整体）、因式分解、倒数方程三、一元二次方程的判别式1、设一元二次方程为)0(02acbxax，其根的判别式为：acb42，则（1）0方程)0(02acbxax有两个不相等的实数根aacbbxx24,221。（2）0方程)0(02acbxax有两个相等的实数根abxx221。（3）0方程)0(02acbxax没有实数根。注意：一元二次方程要么有两个实数根（两个相等实数根或两个不等实数根），要么没有实数根；不会有一个实数根。2、常见判别式的用处由于判别式本身可引出等号和不等号，今儿就会有如下作用（1）、往往利用相等实根引出等号，进而进入化简求值的领域（2）、往往利用不等实根引出不等号，确定参数取值范围（3）、往往利用一次函数和反比例函数，或一次函数和二次函数交点存在性问题，转化为判别式的问题来求解参数四、一元二次方程两根的应用1、韦达定理得推导过程21212221220(a0)22244axbxcbbxxaabbbxxaabbaccxxaa若有两个实根（0）则2、由以上推导过程得出的注意事项！10(2)（）用韦达定理，必须前提逆用韦达定理解题时，对得到的方程必须检验3、韦达定理得常见题型12121222121212,,,=14xxabcaxxxxxxxxxx（1）、确定参数（例如，已知求时，往往令来求（2）、同第一种，确定参数后构造方程（3）、确定另一个根（4）、根据和的正负，确定两根关系（5）、结合（）-（）进行化简求值4、同解方程的一般解法01x（）、设方程公共解为02x（）、将代入原方程，形成新的方程①和②-+（3）、①②或①②后，进行因式分解最后对所得的式子进行关于0的讨论四、一元二次方程的应用列一元二次方程解决应用的步骤1.审题：明确已知条件和未知条件，以及他们之间的关系；2.找等量关系：明确题目中的等量关系；3.设未知数：用字母表示未知数，可以直接设未知数也可以间接设未知数；4.列方程：根据等量关系列方程；5.解方程：选择恰当的方法解方程；6.检验：检验所求出的一元二次方程的根是否符合题意；7.作答：写出题目最终的答案。