初二数学-几何证明初步经典习题与答案)

资料几何证明初步练习题编辑整理：临朐王老师1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．推理过程：○1作CM∥AB，则∠A=，∠B=，∵∠ACB+∠1+∠2=1800（，∴∠A+∠B+∠ACB=1800．○2作MN∥BC，则∠2=，∠3=，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800．2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。3、.如图，在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC。4.已知，如图，AE//DC，∠A=∠C，求证：∠1=∠B.5.已知：如图，EF∥AD，∠1=∠2.求证：∠AGD＋∠BAC=180°.反证法经典例题6.求证:两条直线相交有且只有一个交点.7.如图，在平面内，AB是L的斜线，CD是L的垂线。求证：AB与CD必定相交。8.求证：2是无理数。一．角平分线－－轴对称9、已知在ΔABC中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD平分BAC，BD⊥AD于D．AB＝9，ＡＣ＝13求ＤＥ的长第9题图第10题图第11题图分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD≌ΔAFD．则BD＝DF．又BE＝EC，即DＥ为ΔBCF的中位线．∴DE=12FC=12(AC-AB)=2．10、已知在ΔABC中，108A，AB＝AC，BD平分ABC．求证：BC＝AB＋CD．分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：18ABDDBE，108ABED，36CABC．∴72DECEDC，∴CD＝CE，∴BC＝AB＋CD．11、如图，ΔABC中，Ｅ是BC边上的中点，DE⊥BC于E，交BAC的平分线AD于D，过D作DM⊥AB于Ｍ，作DN⊥ＡC于N．求证：BM＝CN．分析：连接DB与DC．∵DE垂直平分BC，∴DB＝DC．易证ΔAMD≌ΔAND．∴有DM＝DN．∴ΔBMD≌ΔCND（ＨＬ）．∴BM＝CN．二、旋转12、如图，已知在正方形ABCD中，Ｅ在BC上，Ｆ在DC上，BE＋DF＝EF．求证：45EAF．CBADEFDABCECBAEDNMBDACGFE资料分析：将ΔADF绕Ａ顺时针旋转90得ABG．∴GABFAD．易证ΔAGE≌ΔAFE．∴1452FAEGAEFAG13、如图，点E在ΔABC外部，D在边BC上，DE交AC于F．若123，ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC≌ΔADE．分析：若ΔABC≌ΔADE，则ΔADE可视为ΔABC绕Ａ逆时针旋转1所得．则有BADE．∵12BADE，且12．∴BADE．又∵13．∴BACDAE．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC≌ΔADE．14、如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转90即可．∵90FABBAEEADBAE．∴FBAEDA．又∵90FBAEDA，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．平移第14题图第15题图第16题图第17题图三、平移15、如图，在梯形ABCD中，BD⊥AC，AC＝８，BD＝１５．求梯形ABCD的中位线长．分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得ACEB．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．16、已知在ΔABC中，AB＝AC，D为AB上一点，Ｅ为AC延长线一点，且BD＝CE．求证：DM＝EM分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得．∴四边形ＤＣＥＦ为DCEF．∴ＤＭ＝ＥＭ．线段中点的常见技巧--倍长四、倍长17、已知，ＡＤ为ABC的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ２ＡＤ．分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE≌ΔCDA．∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ２ＡＤ．18、如图，AD为ΔABC的角平分线且BD＝CD．求证：AB＝AC．分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ．∵BADCAD．∴ECAD．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．19、已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，60ABDC．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD≌ΔBCE．∴CBEBAD．∴60BPQPBAPABPBADBP．易证ΔBPQ≌ΔBFQ．得ＢＰ＝ＢＦ，又60BPD．∴ΔBPF为等边三角形．∴ＢＰ＝２ＰＱ．中位线213EDCBABDACFEACBDEMABCEDFDEBCADBACEDPCBAFEQCADBEFG资料五、中位线、中线：20、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，Ｅ和Ｆ分别为BD与AC的中点,求证：1()2EFBCAD．分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD中位线，ＦＧ为ΔACD的中位线．∴ＥＧ∥＝12BC，FG∥＝12AD．∵AD∥BC．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴1()2EFBCAD．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半21、已知，在ABCD中BDAB21．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点．求证：ＥＦ＝ＥＧ．分析：连接ＢE．∵BDAB21，ＡＥ＝OＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．∴BDEG21．又ＥＦ为ΔAOD的中位线．∴ADEF21．∴ＥＦ＝ＥＧ．22、在ΔABC中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ．求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）2BBCE．分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴RtΔCDG≌RtΔEDG（ＨＬ）．∴ＥＧ＝ＣＧ．∵ＤＥ＝ＢＥ．∴BBDEDECBCE．∵ＤＥ＝ＣＤ．∴DECBCE．∴2BBCE．几何证明初步测验题（1）一、选择题（每空3分，共36分）1、使两个直角三角形全等的条件是（）A、一组锐角对应相等B、两组锐角分别对应相等C、一组直角边对应相等D、两组直角边分别对应相等2、如图，已知AB∥CD，∠A＝50°，∠C＝∠E．则∠C＝（）A．20°B．25°C．30°D．40°第2题图第4题图第6题图第7题图3、用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，应先假设这个三角形中（）A．有两个角是直角B．有两个角是钝角C．有两个角是锐角D．一个角是钝角，一个角是直角OCDBAEFGECDGAB资料4、如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOE=90°，OF平分∠AOE，∠1=15°30’，则下列结论不正确的是()A．∠2=45°B．∠1=∠3C．∠AOD+∠1=180°D．∠EOD=75°30’5、下列说法中，正确的个数为（）①三角形的三条高都在三角形内，且都相交于一点②三角形的中线都是过三角形的某一个顶点，且平分对边的直线③在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠C，则△ABC是直角三角形④一个三角形的两边长分别是8和10，那么它的最短边的取值范围是2b18A．1个B．2个C．3个D．4个6、如图，在AB=AC的△ABC中，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于F，E在AB边上，使ED⊥BC于D，∠AED=155°，则∠EDF等于（）A、50°B、65°C、70°D、75°7、如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，若BC=10cm，则△DEC的周长为（）A．8cmB．10cmC．12cmD．14cm8、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A.B.C.5D.49、如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF，M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为:若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（）A．仅小明对B．仅小亮对C．两人都对D．两人都对第9题图第10题图第11题图第12题图10、如图，△ABC为等边三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则四个结论正确的是（）．①点P在∠A的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP.A．全部正确;B．仅①和②正确;C．仅②③正确;D．仅①和③正确11、如图，△ABC中，CD⊥AB于D，一定能确定△ABC为直角三角形的条件的个数是（）①∠1=∠②③∠+∠2=90°④=3:4:5⑤A．1B．2C．3D．412、如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）资料A．13B．12C．23D．不能确定二、填空题（每空3分，共15分）13、命题“对顶角相等”中的题设是_________,结论是___________。14、请写出“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题：15、如图，已知∠1=∠2，请你添加一个条件：___________，使△ABD≌△ACD。16、对于同一平面内的三条直线、、，给出下列五个论断：①∥；②∥；③⊥；④∥；⑤⊥.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：_____.17、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．三、计算、简答题18、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F分别为垂足．求证：AD垂直平分EF．19、如图7，已知A、B、C在一条直线上，分别以AB、BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，AE交BD于点F，DC交BE于点G。求证：AE=DC，BF=BG；第19题图第20题图第21题图第22题图20如果ABC三点不在一条直线上，那么AE=DC和BF=BG是否仍然成立明。21、已知：如图，P是正方形ABCD内一点，在正方形ABCD外有一点E，满足∠ABE=∠CBP，BE=BP．(1)求证：△CPB≌△AEB；(2)求证：PB⊥BE；(3)图中是否存在旋转能够重合的三角形?若存在，请说出旋转过程；若不存在，请说明理由．22、如图，已知：AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：∠3=∠B．23、如下图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，过D点作AB的垂线，交AC于E，交BC的延长线于F。（1）∠1与∠B有什么关系？说明理由。（2）若BC=BD，请你探索AB与FB的数量关系，并且说明理由。24、阅读理解题我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识。请解决以下问题：如图，我们把满足、且的四边形叫做“筝形”；资料（1）写出筝形的两个性质（定义除外）；（2）写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证明；参考答案一、选择题1、D2、B3、A4、D5、A6、B7、B8、49、C10、A提示：连结AP．综合运用全等三角形、平行线、角的平分线的性质、等腰三角形的性质证△PRA≌△PSA，AR=AS来解决问题．11、C12、B二、填空题13、两个角是对顶角；它们相等；14、有两个角相等的三角形是等腰三角形；15、∠B=∠C_或BD=CD等（答案不唯一）16、答案不唯一，合理、正确即可；17、①②③⑤三、简答题18、提示：由角平分线的性质定