浅析数学分析一致连续性

一引入“一致性”的意义数学分析教材中有不少概念，如函数的连续性与一直连续性、函数列的收敛性与一致收敛性，初学者很容易混淆，因而成为“数学分析”中学习的一个难点所在。数学分析中的三个“一致性”(即一致有界,一致连续,一致收敛)的概念对数学基础知识的学习很重要。弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解。一致连续是一个很重要的概念,在微积分学以及其他学科中常常用到,而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切关系。在研究函数列的收敛问题中,常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛的关系。数学分析中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性、函数项级数一致收敛性、含参变量无穷积分一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点,因此,牢固掌握这些概念及与之有关的理论,对打好分析基础,培养良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。对函数列的极限函数、函数项级数的和函数以及含参变量积分性质的讨论,常常需要讨论其一致收敛性,而函数项级数的一致收敛性可归结成部分和函数列的一致收敛性的研究,含参变量无穷积分的一致收敛性,又可归结成函数项级数的一致收敛性的研究,故本文着重讨论函数一致连续性和函数列一致收敛性重要概念。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点，证明某一个函数是否具有一致连续性让许多同学更是无从下手。为了解决这一难点，化抽象为简单，给出一致连续性的几种等价形式，能帮助同学易于接受。函数一致连续的几何意义数学分析是一门非常抽象的学科，有极强的逻辑性和严密性，体现在：能用简明的数学语言准确的表述用冗长的文学语言也不一定能定量的事物发展过程。这也是初学者无法理解分析中定义的原因。而几何意义将是数学分析课程入门的一引导者，它向学生展示了数学分析中最基本的思想方法，有利于学生对抽象概念的理解，能更好地发展学生的思维能力。本文通过揭示一致连续与一致收敛概念之间的内在联系，导出了利用连续性判定一致收敛的方法。此方法对于通常的初等函数及函数列一致收敛与非一致收放的判定非常有效，且很简便，可说是一目了然。它不仅限于在指一致连续与一致收敛定区间上的讨论，还便于作全面的研究。通过对函数及函数列的一致连续的定义的对照对函数列的一致收敛与一致连续问题进行了讨论,通过这种讨论使我们清晰的看到函数列的一致连续问题不仅和函数列本身有关而且和极限函数有着密切的关系。探讨了一致连续和一致收敛的关系,并在有界区间上给出了一致连续和一致收敛的等价关系。掌握这些关系为今后研究连续、收敛问题提供了更多的依据。二对数学分析中一致连续的概念的理解一致连续是从函数连续的概念派生出来的，是指存在一个微小变化的界限，如果函数定义域内的任意两点间的距离不超过这个界限，则这两点对应的函数值之差就能达到任意小。函数一致连续的概念一直是《数学分析》学习中的难点，在多年的教学实践中，深感学生对函数一致连续的概念掌握的不是很好，经常听到学生有这样的疑问：函数连续和一致连续究竟有什么区别？本文谈的就是在教学中如何让学生较快地理解函数一致连续的概念。1从连续的概念引出一致连续的概念函数的一致连续性是函数的重要特征，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”。对于函数一致连续来说，不仅要求函数在区间上的每一点保持连续，还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上均匀的变化趋势。也就是说：对于任给的正数ε，要求存在一个与x无关的正数δ，使对自变量的任意2个值x'，x，只要它们的距离︳x'-x︳＜δ，对应的函数值︳f（x'）-f（x）︳＜ε，。显然，一致连续要比连续条件强。但在数学分析教科书中，仅给出一致连续的定义以及利用定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，呈现了函数一致连续完美的逻辑结果，但学生对定义特别是其中δ的很难理解，那么我们在上课时就不宜照本宣科，需要把概念中所隐含的知识逐步解释清楚，才可以帮助学生较快地理解一致连续的概念。下面我们从函数f（x）在区间I上连续的定义出发，通过2个例子，快速建立函数f（x）在区间I上一致连续的定义。定义1（函数f（x）在区间I上连续）设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，对于每一点x∈I，都存在相应δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且︳x-x'︳＜δ，就有︳f（x）-f（x'）︳＜ε，则称函数f（x）在区间I上连续。给出以下2个例子。例1考查函数f（x）=x1在区间（0，1］上的连续性。解对0x∈（0，1］，因为0limxxx=0x＞0，则存在邻域U（0x，δ'），使得x∈U（0x，δ'），有x＞20x，所以有︳x1-01x︳=00xxxx＜0002xxxx=2200xxx。对ε＞0，取δ=min20,2x，就有︳x1-01x︳＜ε。这里δ与0x有关，有时特记为δ（ε，0x）。注意本例中不存在可在区间（0，1］上通用的δ，即不存在最小的（正数）δ。强调：0x的位置不同，δ的取值也随之产生变化。例2考查函数f（x）=x1在区间上［c，+∞）（c＞0）的连续性。解对0x∈［c，+∞）（c＞0），存在邻域U（0x，δ'），使得x∈U（0x，δ'）时，有︳x1-01x︳=00xxxx2cxxo。对ε＞0，取δ=2cε，就有︳x1-01x︳＜ε。这里可取得最小的，也就是可通用的δ=2cε，该δ却与0x无关，可记为δ（ε）。比较例1中δ与例2中δ的不同，引出较函数f（x）在区间I上连续的概念条件更强的函数f（x）在区间I上一致连续的概念。定义2（一致连续）设（fx）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，存在δ（＞0），使得对任何x'，x∈I，只要︳x'-x︳＜δ，就有︳f（x'）-f（x）︳＜ε，则称函数f（x）在区间I上一致连续。连续概念中δ与一致连续概念中的δ不同，通过具体的例子来说明，就更加直观，对初学的学生来说，更容易接受。通过这样的2个例子引出函数f（x）在区间I上一致连续的概念，可使学生在刚接触到一致连续时，就对其中的δ有一种直观的感受。这样学生对δ的取法就比较清楚，可以迅速让学生理解一致连续的概念。2利用函数一致连续的概念证明函数一致连续为了进一步加深学生对函数一致连续概念的理解和记忆，随即提出用定义验证一致连续的方法：对ε＞0，确证δ（＞0）存在。为此，从不失真地放大︳f（x'）-f（x）︳这个式子入手，使在放大后的式子中，除因子︳x'-x︳之外，其余部分中不含有x'和x，然后使所得式子︳f（x'）-f（x）︳＜ε，从中解出︳x'-x︳.例3验证函数f（x）=sinx1在区间（c，1）（0＜c＜1）内一致连续。证明因为︳sin'1x-sin1x︳=2︳sin''2xxxx︳︳cos''2xxxx︳≤''xxxx≤2'cxx所以对ε＞0，取δ=2cε，使得对任何x'，x∈（c，1），只要︳x'-x︳＜δ，就有︳sin1x'-sin1x︳＜ε。3函数不一致连续的概念下面证明例1中的函数f（x）=x1在区间（1，0］上不一致连续。找不到可在区间（0，1］上通用的δ，即不存在最小的δ（正数）。先给出函数f（x）在区间I上不一致连续的定义。定义3存在某个ε0，无论δ是怎么样小的正数，在I上总有两点x'和x，虽然满足︳x'-x︳＜0，却有︳f（x'）-f（x）︳＞ε。证明取ε0=1，对δ（＜1），取x'=min｛δ，12｝与x=2'x，便有︳x'-x︳=2'x≤2＜δ，但'11xx=︳'1x-'2x︳='1x≥2＞1=0。因此也可以说函数f（x）在区间I上连续，存在一个集合A=﹛δx︳x∈I﹜，如果当集合A中存在一个最小的δ时，则f（x）就是I上一致连续，而f（x）在区间I上连续则只要求存在集合A就可以了。三一致收敛概念1函数列一致收敛的定义设S1(x),S2(x),⋯,Sn(x),⋯是一列定义在同一数集X上的函数,称为定义在X上的函数列.设{un(x)}称为定义在X上的函数列,表达式u1(x)+u2(x)+⋯+un(x)+⋯,x∈X称为定义在X上的函数项级数,简记为1nun(x)或un(x).设数集X为函数项级数1nun(x)的收敛域,则对每个x∈X,记S(x)=1nun(x),称S(x)为函数项级数1nun(x)的和函数.定义i设有函数列{Sn(x)},若对任给的ε0,存在只依赖于ε的正整数N(ε),当nN(ε)时,不等式︱Sn(x)-S(x)︱ε对X上一切x成立,则称{Sn(x)}在X上一致收敛于是s（x）.一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达:定义ii设‖sn-s‖=Ixsup|Sn(x)-S(x)|,若nlim‖sn-s‖=0,就称Sn(x)在X上一致收敛于S(x).定义2＞0，)(NN，当时，对一切，都有．这时称函数列在上一致收敛于，记作．一致收敛与逐点收敛之间的区别：定义2中的只依赖于，它适用于一切；而定义1中的极限式(1)若用陈述方式来表示时，其中的既与有关，又与中的考察点有关．定义设函数项级数的部分和函数列为．如果，则称在上一致收敛于．由定义2与定义易知：●若,则．●若或在上一致收敛，，则它们在上必一致收敛．●当把数列看作一个特殊的函数序列时，如果收敛，则可认为它在上一致收敛．●当把数项级数看作一个特殊的函数项级数时,如果收敛，则可认为它在上一致收敛．●又若，则同样可以认为．把逐点收敛（即数列或数项级数收敛）的柯西准则推广为一致收敛的柯西准则，即为以下两个定理．定理5.1在上一致收敛的充要条件是：，当时，对一切和一切都有．定理5.1'在上一致收敛的充要条件是：，当时，对一切和一切都有．有关定义2、定义以及柯西条件的否定说法，分别示于相关知识相关知识18.1-18.4．例5讨论函数列分别在和上的一致收敛性．解首先，对每一固定的，恒有，即在上处处收敛于．(i)当时，，，当时，对一切，都有．由于上述只依赖于，依据定义2，证得，．(ii)当时，由解出．由此可见既依赖，又依赖，故，．四对函数一致连续性的几点讨论弄清函数的一致连续性的概念和掌握判断函数一致连续的方法无疑是学好函数一致连续性理论的关键。数学分析教材只给出一致连续的概念和判断函数在闭区间上一致连续的G·康托定理,内容篇幅少,为了使初学者对函数一致连续性的理论有正确的理解和全面的掌握,作为教材内容的适当扩展和补充,本文做以下几点讨论:1关于函数一致连续的概念定义设函数f(x)在区间I有定义,若Pε0,vδ0,x1,x2∈I:|x1-x2|δ,有|f(x1)-f(x2)|ε,称函数f(x)在I一致连续。对函数的一致连续性概念的掌握,应注意以下三个方面的问题:(1)要注意函数在区间的连续性与一致连续性的区别和联系。比较函数在区间的连续性和一致连续性定义可知:前者的δ不仅与ε有关,而且还与点x0有关,即对于不同的x0,一般来说δ是不同的,这表明只要函数在区间内每一点都连续,函数就在区间连续;后者的δ仅与ε有关,与x0无关,即对不同的x0,δ是相同的。这表明函数在区间的一致连续性,不仅要求函数在这个区间的每一点都连续,而且要求函数在区间上的连续是“一致”的(即连续可对一点来讲,而且对于某一点x0,δ取决于x0和ε,而一致连续必须以区间为对象,δ只取决于ε,与点x0的值无关)。在区间I一致连续的函数在这个区间一定是连续的,事实上,由一致连续性定义将x1固定,令x2变化,即知函数f(x)在x1连续,又x1是I的任意一点,从而函数f(x)在I连续。但在区间I连续的函数在这区间上不一定一致连续,例如f(x)=1/x在区间(0,1)就是如此