第三章-2

第三章连续信号的正交分解1二、周期信号的频谱)()(2)(110tnSinbtSinbtnCosatCosaatfnn振幅频谱图--信号各频率分量的振幅随角频率变化的图形tf(t)0T])5(51)3(31)([4)(tSintSintSintfAn01357=nA1A3A5A7谱线第三章连续信号的正交分解2（一）周期信号的频谱例求周期性矩形脉冲的展开式和频谱τ——脉冲宽度T——脉冲周期A——脉冲幅度-T-τ/2τ/2Ttf(t)A解：（1）求f(t)的展开式【方法一】用三角形式表示因为f(-t)=f(t)(偶函数)，所以bn=024)(4)()(42020nSinTnAdttnACosTdttnCostfTaTn)(2)2(2]22[2TnSaTAnSaTAnnSinTA第三章连续信号的正交分解3xSinxxSa)(——抽样函数nnTTaimlTAAdtTdttfTa02222022)(2)()(2)(1tnCosTnSaTATAtfn【方法二】用指数形式表示22222)(2dtAeTdtetfTAtjnTTtjnn)2(224nSaTAnSinTnAnjneA＝实数nnnnAAnSaTAA,,0)2(2第三章连续信号的正交分解4nnAAnSanSa)2()2()(21)(1tjntjnnneeATAtf)()2(21tnCosnSaTATAn故(2)求频谱令n=1,2,…按频率高低依次排列即得频谱图tjnnneAtf21)(112121ntjnntjnnneAeATA第三章连续信号的正交分解5Sinx/x=Sa(x)0π2π3πx02π/τ4π/τω=nΩT=6τ:φn=0φn=πφn=0零点位置：x=nΩτ/2=mπnΩ=m·2π/τ即ω=nΩ＝m·2π/τ时，An＝0——零点又Ω=2π/T，设T=6τ，则A0＝(2/6)A,2π/τ=6Ω,即每个包络内有5根谱线相位谱：～ω图nnnnAA,,0πn02π/τ4π/τω=nΩAn20A)2(2nSaTAAn)(2TnSaTAAn第三章连续信号的正交分解6其它方法：振幅向量为实数此时，An为负值，并不表示振幅为负，只表示＝πn又如按(指数级数）ntjnntjnnneCeAtf21)(指数频谱图：Cn-2π/τ02π/τ4π/τω=nΩ(关于纵轴对称，但并不表示有负频率，它只表示一对相应的正、负指数项合起来构成一个正弦分量)A0An=(2Aτ/T)Sa(nΩτ/2)02π/τ4π/τω=nΩT=6τ:20A第三章连续信号的正交分解7(二)周期性矩形脉冲频谱的特点1．离散性2．谐波性3．收敛性讨论：T、τ对信号频谱结构的影响24)2(2nSinTnAnSaTAAn①一定）（一定时，T）高了（但谱线疏密不变振幅为零的谐波次数提的收敛速度也变慢了且各谐波振幅渐趋减小2nA②线变密谱线间间隔减小，即谱一定）一定时，)2(2(TATnT无限趋大时，谱线间隔无限趋小，振幅也无限趋小，周期脉冲非周期性单脉冲非周期信号可看作的周期信号问题0，TCn02π/τ4π/τω=nΩ第三章连续信号的正交分解8第三章连续信号的正交分解9(三)信号的频带宽度（频宽）对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高分量的频率间的这段频率范围是信号所占有的频带宽度，简称频宽。定义（两种情况）：①从ω＝0到频谱包络线第一个零点间的频段②从ω＝0到振幅降为包络线最大值1/10间频段讨论：脉宽τ与频宽成反比00，频谱均匀分布于时，信号频宽加大振幅收敛速度变慢表明：时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。第三章连续信号的正交分解10第三章连续信号的正交分解11三、傅里叶变换与非周期信号的频谱周期信号：ntjnnTTtjnneAtfdtetfTA)2(21)()1()(222无穷小（间隔）＝时，TT2nA同时无穷小（一）频谱函数（频谱密度函数）和傅立叶变换式（1）乘以T/2:fAATAnnn2222)(TTtjndtetf),0(时当T第三章连续信号的正交分解12定义：nnTATAFjF0lim2lim)()(量纲：)(jF单位频带的振幅——频谱密度函数—傅里叶变换—则连续变量无穷小），时，当)()()()((jtjejFdtetfjFndT)(jF——偶函数，)(——奇函数（二）非周期信号的表达式——傅立叶反变换tjnTTtjnntjnnnedtetfTeAtf])(2[2121)(22第三章连续信号的正交分解13dTndT22,,时，当tjtjedtetfdtf])([2)(dejFtj)(21——傅里叶反变换简记为：)()()]([)()]([)(1jFtfjFFtftfFjF或（三）非周期信号的频谱dejFtftj)(21)(tjnnnTeAtf21)(对比非周期信号也可分解为许多不同频率的正弦分量（无穷小量）—频率分量的相位—，而实际振幅—各频率分量的相对值—)()()()(djFAjF第三章连续信号的正交分解14但因信号包含,0,T一切频率分量，00)(djFA）＝（同时所以频谱不能直接用振幅作出，而必须借助它的密度函数来作出。令)()()(jejFjF曲线）～（相位谱：曲线幅度谱：~)(jFnnATjF2)(周期信号的和非周期信号的可相互转换nA)(jFnnjFTA)(2或第三章连续信号的正交分解15证明:设otherwiseTttftfT,00),()(dtetfjFtj)()(nAT2dtetfntjnTT0)(dtetftjTT0)(则nnATjF2)(第三章连续信号的正交分解16（四）非周期矩形脉冲的频谱分析Aτ——矩形之面积f(t)A-τ/20τ/2t【方法一】直接用定义式求dtetfjFtj)()()(2222jjtjeejAdtAe)2(22SaASinA【方法二】用转换关系求)2(2nSaTAAn)()()2()2(22)(jejFSaASaTATjF)2()(SaAjF0)(,0)(,0)(jFjF第三章连续信号的正交分解17频谱图：F(jω)Aτ0ω4－26周期脉冲频谱包络线的形状和非周期单脉冲的频谱函数形状完全相同，所以，单脉冲信号的频谱也具有以下特点：单脉冲信号的频谱也具有收敛性，即信号的大部分能量都集中在低频段；当脉冲持续时间减小时，频谱的收敛速度变慢，即脉宽与频宽成反比。