最优化方法——用Lingo对线性规划进行灵敏度分析

1lingo软件求解线性规划及灵敏度分析注：以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法！所有程序运行环境为lingo10。一、用lingo软件求解线性规划例1：max23..43103512,0zxystxyxyxy在模型窗口输入：model:max=2*x+3*y;4*x+3*y=10;3*x+5*y12;!theoptimalvalueis:7.454545;End如图所示：运行结果如下（点击工具栏上的‘solve’或点击菜单‘lingo’下的‘solve’即可）：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:7.454545（最优解函数值）Totalsolveriterations:2（迭代次数）2Variable（最优解）ValueReducedCostX1.2727270.000000Y1.6363640.000000RowSlackorSurplusDualPrice17.4545451.00000020.0000000.9090909E-0130.0000000.5454545例2：12123124125max54..390280450zxxstxxxxxxxxxx在模型窗口输入：model:max=5*x1+4*x2;x1+3*x2+x3=90;2*x1+x2+x4=80;x1+x2+x5=45;end运行（solve）结果如下：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:215.0000Totalsolveriterations:3VariableValueReducedCostX135.000000.000000X210.000000.000000X325.000000.000000X40.0000001.000000X50.0000003.000000RowSlackorSurplusDualPrice1215.00001.00000020.0000000.00000030.0000001.00000040.0000003.000000例3323123234235min2..223120zxxstxxxxxxxxxx在模型窗口输入：model:min=-x2+2*x3;x1-2*x2+x3=2;x2-3*x3+x4=1;x2-x3+x5=2;end运行结果如下：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:-1.500000Totalsolveriterations:2VariableValueReducedCostX22.5000000.000000X30.50000000.000000X16.5000000.000000X40.0000000.5000000X50.0000000.5000000RowSlackorSurplusDualPrice1-1.500000-1.00000020.0000000.00000030.0000000.500000040.0000000.5000000例4：min..124xyzstxyxz在模型窗口输入：model:min=@abs(x)+@abs(y)+@abs(z);x+y1;2*x+z=4;@free(x);@free(y);@free(z);4End求解器状态如下：（可看出是非线性模型！）运行结果为：Linearizationcomponentsadded:Constraints:12Variables:12Integers:3Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:3.000000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:4VariableValueReducedCostX2.0000000.000000Y-1.0000000.000000Z0.0000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13.000000-1.00000020.0000001.00000030.000000-1.000000二、用lingo软件进行灵敏度分析实例例5：5max6030208648421.52021.50.585,,0Sxyzxyzxyzxyzyxyz在模型窗口输入：Lingo模型：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z48;4*x+2*y+1.5*z20;2*x+1.5*y+0.5*z8;y5;end（一）求解报告（solutionreport）通过菜单Lingo→Solve可以得到求解报告（solutionreport）如下：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:0Objectivevalue:280.0000VariableValueReducedCostX2.0000000.000000Y0.0000005.000000Z8.0000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice1280.00001.000000224.000000.00000030.00000010.0000040.00000010.0000055.0000000.000000分析Value,ReducedCost，SlackorSurplus，DualPrice的意义如下：1、最优解和基变量的确定Value所在列给出了问题的最优解。由于基变量取值非零，因此Value所在列取值非零的决策变量x,z是基变量。2、差额成本ReducedCost（或opportunitycost）所在列的三个数值表示当决策变量取值增加一个单位时，目标函数值的减少量。例如：第2个数5表示当变量y增加一个单位时，最优目标函数值减少的量。例如：当y=1时，最优目标函数值为280-5=275。可通过如下模型可检验：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z48;4*x+2*y+1.5*z20;62*x+1.5*y+0.5*z8;y5;y=1;end注：（1）换一个角度说，就是目标函数中变量y的系数增加5，那么生产y才会有利！（2）基变量的ReducedCost值为0，只有非基变量的ReducedCost值才可能不为0；故由value,和ReducedCost值分析可知y为非基变量。3、松弛变量取值SlackorSurplus所在列的各数表示各行的松弛变量的取值。目标函数行的SlackorSurplus值没啥意义，不用考虑。可通过如下模型检验：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z+s1=48;4*x+2*y+1.5*z+s2=20;2*x+1.5*y+0.5*z+s3=8;y+s4=5;end4、对偶价格（影子价格）DualPrice所在列的各数表示相应约束条件的右端常数增加一个单位时，最优目标函数值的增加量。注，只有紧约束行的DualPrice值不为0。例如：要检验第二行约束，可通过如下模型：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z48;4*x+2*y+1.5*z21;2*x+1.5*y+0.5*z8;y5;end（二）灵敏度分析报告首先设置：Lingo→Options→Generalsolver→Dualcomputations→PricesandRange。当求解完成后，最小化求解报告窗口，然后点击菜单Lingo→Range，可得灵敏度分析报告：Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX60.0000020.000004.000000Y30.000005.000000INFINITYZ20.000002.5000005.000000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease248.00000INFINITY24.00000320.000004.0000004.00000048.0000002.0000001.33333355.000000INFINITY5.000000分析ObjectiveCoefficientRanges，RighthandSideRanges的意义如下：1、目标函数中系数的变化对最优基的影响7ObjectiveCoefficientRanges表示目标函数行各系数在某个范围内变化时，最优基保持不变。以变量x的系数为例：当x的系数在6046020内取值时，最优基保持不变。此时，最优解不变，最优目标函数值变了。例如：可通过如下模型检验：model:max=56.0001*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z48;4*x+2*y+1.5*z20;2*x+1.5*y+0.5*z8;y5;end2、约束条件右端常数变化对最优基的影响RighthandSideRanges表示约束右端项各数在某个范围内变化时，最优基保持不变。以第一个约束行为例：当右端项在482448内取值时，最优基保持不变。此时，最优解，目标函数的最优值变化了。例如：可通过如下模型检验：model:max=60*x+30*y+20*z;8*x+6*y+z4800;4*x+2*y+1.5*z20;2*x+1.5*y+0.5*z8;y5;end注：关于lingo软件的更广泛的应用见相关参考书或者lingo软件的帮助文档！！lingo常用约束函数@bin(x)定义x为0-1变量@gin(x)定义x为整数变量@free(x)X无限制(lingo模型里面，变量被默认为非负，即任意变量x=0)@bnd(a,x,b)Axb练习：1、建立线性规划模型并求解（1）某工厂生产甲、乙两种产品。已知生产甲种产品t1需耗A种矿石t10、B种矿石t5、煤t4；生产乙种产品t1需耗A种矿石t4、B种矿石t4、煤t9。每t1甲种产品的利润是600元，每t1乙种产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过t300、B种矿石不超过t200、煤不超过t360。甲、乙两种产品应各生产多少，能使利润总额达到最大？（2）设有A1，A2两个香蕉基地，产量分别为60吨和80吨，联合供应B1，B2，B3三个销地的销售量经预测分别为50吨、50吨和40吨。两个产地到三个销地的单位运价如下表所示：表1（单位运费：元/吨）8问每个产地向每个销地各发货多少，才能使总的运费最少？2、用Lingo软件对下列线性规划问题进行灵敏度分析。（1）12312312312123min33..25231612,,0xxxstxxxxxxxxxxx（2）1212312412515max2..506221,,0xxstxxxxxxxxxxx（3）123412341234max30354045..34647043658001,2,3,4ixxxxstxxxxxxxxxi3、综合题某工厂用甲，乙两种原料生产A,B,C,D四种产品，每种产品的利润、现有原料数量及每种产品消耗原料定额如下表：每万件产品所耗原料（千克）ABCD现有原料（千克）甲3210418乙0022.53每万件产品利润（万元）985019问题：（1）怎样组织生产才能使总利润最大？（2）如果产品A的利润有波动，波动范围应限制在什么范围内，才能使得原生产计划不变？（3）若原料甲的数量发生变化，在什么范围内变化时才能使得原生产计划不变？（4）若工厂引进新