偏微分方程期末复习笔记

《偏微分方程》期末考试复习一、波动方程（双曲型方程）),(2txfuauxxtt（一）初值问题（柯西问题）1、一维情形)()(),(002xuxutxfuautttxxtt（1）解法（传播波法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I）)()(0002xuxuuautttxxtt（Ⅱ）00),(002tttxxttuutxfuau其中，问题（I）的解由达朗贝尔公式给出：daatxatxtxuatxatx)(212)()(),(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：dtxWtxut0);,(),(其中，);,,,(tzyxW是下述初值问题的解：),(002xf，利用达朗贝尔公式得dfatxWtaxtax)()(),(21);,(从而问题（Ⅱ）的解为：ddfatxuttaxtax0)()(),(21),(综上所述，原初值问题的解为：ddfadaatxatxtxuttaxtaxatxatx0)()(),(21)(212)()(),(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征线：①依赖区间：点(x,t)的依赖区间为：[x-at,x+at];②决定区域：区间],[21xx的决定区域为：{(x,t)|atxxatx21}③影响区域：区间],[21xx的影响区域为：{(x,t)|atxxatx21}④特征线：atxx0（3）解的验证：见课本P10,P142、三维情形),,(),,(),,,()(002zyxuzyxutzyxfuuuautttzzyyxxtt（1）解法（球面平均法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I）),,(),,(0)(002zyxuzyxuuuuautttzzyyxxtt（Ⅱ）00),,,()(002tttzzyyxxttuutzyxfuuuau其中，问题（I）的解由泊松公式给出：MatMatSSdStadStattzyxu224141),,,(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：dtzyxWtzyxut0);,,,(),,,(其中，);,,,(tzyxW是下述初值问题的解：),,,(00)(2zyxf，利用泊松公式得MtaStardSrfatzyxW)()(),,,(41);,,,(从而问题（Ⅱ）的解为：dVrartfatzyxuatr),,,(41),,,(2综上所述，原初值问题的解为：dVrartfadStadStattzyxuatrSSMatMat),,,(414141),,,(222（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、惠更斯原理（无后效现象）：①依赖区域（球面）：点),,,(000tzyx的依赖区域为202202020)()()(tazzyyxx；②决定区域（锥体）：球面202202020)()()(tazzyyxx决定区域为：202202020)()()()(ttazzyyxx)(0tt；③影响区域（锥面）：点)0,,,(000zyx的影响区域为：22202020)()()(tazzyyxx)0(t④特征锥：202202020)()()()(ttazzyyxx惠更斯原理（无后效现象）见课本P35（3）解的验证：见课本P29,P323、二维情形),(),(),,()(002yxuyxutyxfuuautttyyxxtt（1）解法（降维法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I）),(),(0)(002yxuyxuuuautttyyxxtt（Ⅱ）00),,()(002tttyyxxttuutyxfuuau其中，问题（I）的解由二维泊松公式给出：MatMatddyxatddyxattatyxu222222)()()(),()()()(),(21),,(由齐次化原理，问题（Ⅱ）的解为：dtyxWtyxut0);,,(),,(其中，);,,(tyxW是下述初值问题的解：),,(00)(2yxf，利用泊松公式得MrddyxrartfatyxWtar)(222)()(),,(21);,,(从而问题（Ⅱ）的解为：attarMrddyxrartfatyxu0)(2222)()(),,(21),,(综上所述，原初值问题的解为：attarMrMatMatddyxrartfaddyxatddyxattatyxu0)(2222222222)()(),,(21)()()(),()()()(),(21),,(（2）依赖区间、决定区域、影响区域、特征锥、后效现象：①依赖区域（圆饼）：点),,(00tyx的依赖区域为2022020)()(tayyxx；②决定区域（锥体）：圆饼2022020)()(tayyxx决定区域为：2022020)()()(ttayyxx)(0tt；③影响区域（锥体）：点)0,,(00yx的影响区域为：222020)()(tayyxx)0(t④特征锥：2022020)()()(ttayyxx后效现象见课本P35、36（3）解的验证：课本没有，有兴趣的童鞋自己动手丰衣足食。（二）初边值问题0)()(),(0002lxxtttxxttuuxuxutxfuau（1）解法（分离变量法）：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I）0)()(00002lxxtttxxttuuxuxuuau（Ⅱ）000),(0002lxxtttxxttuuuutxfuau用分离变量法（过程请脑内补完）得到（I）的解为：xlktlakBtlakAtxukkksinsincos),(1其中dlkakBdlklAlklksin)(2sin)(200用齐次化原理得到（Ⅱ）的解：xlkdtlakBtxuktksin)(sin)(),(10从而原初边值问题的解为：xlkdtlakBxlktlakBtlakAtxuktkkkksin)(sin)(sinsincos),(101注：非齐次边界条件的情形见课本P21、22（2）解的验证、相容性条件（见课本P19）相容性条件：函数23)(,)(CxCx，并且0)()0()()0()()0(lll二、热传导方程（抛物型方程）),(2txfuauxxt（一）初边值问题0)(0002lxxtxxtuuxuuau（注：由于老师讲课以及课后习题中都没有非齐次方程的初边值问题，估计不会考；但是边界条件有可能给第一、第二、第三类边界条件，这里的解法仅一第一类齐次边界条件为例）（1）解法（分离变量法）：用分离变量法（过程请脑内补完）得到原方程的解为：xlkeCtxuktlkaksin),(12222其中dlklClksin)(20注：非齐次边界条件的情形见课本P21、22（2）解的验证、相容性条件（见课本P51、52）（二）柯西问题)(),(02xutxfuautxxt（1）傅里叶变换（必考的重点）①一维情形：傅里叶变换：dxexfgfFxi)()(][傅里叶逆变换：degxfgFxi)(21)(][1②高维情形：设),,(1nxxx，),,(1n傅里叶变换：dxexfgfFnRxi)()(][傅里叶逆变换：degxfgFnRxin)()2(1)(][1③傅里叶变换的性质：性质1][][][2121fFfFffF性质2][][][2121fFfFffF性质3][][21][2121fFfFffF性质4)]([)]('[xfFixfF性质5)]([)]([xfFddxixfF（2）解法：由叠加原理，原初值问题的解可表示为下述初值问题的解之和，（I）)(002xuuautxxt（Ⅱ）0),(02txxtutxfuau其中问题（I）的解由泊松公式给出：detatxutax224)()(21),(用齐次化原理得到问题（Ⅱ）的解：detfdatxutaxt)(4)(022),(21),(从而原柯西问题的解为：detfdadetatxutaxttax)(4)(04)(2222),(21)(21),(（3）解的验证（见课本P58、59）（三）极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性（见课本P60~65）极值原理热传导方程),(2txfuauxxt（0f）的解u(x,t)在抛物边界上取得极大、极小值。三、调和方程（椭圆型方程）0u（一）拉普拉斯算子、梯度与散度1、几个常用的关系式：①)(udivu；②nunu，n为单位向量；③uvuvuvdiv)(2、拉普拉斯算子在不同坐标系下的形式：①直角坐标系：222222zuyuxuu②球面坐标系：)(sinsin1sin1)(1222222222ururrurru③柱面坐标系：222221)(1zuurrurrru④极坐标系：2221)(1urrurrru（二）变分原理（见课本P71、72）（算是难点，但期末考估计不会涉及，此处从略）（三）格林公式及其应用1、格林公式：dSnFdxdydzFdiv)(2、格林第一公式：dvudSnvudvu3、格林第二公式：dSnuvnvuduvvu)()(4、调和函数的基本积分公式：①若0u，则MMMMMdSnMurrnMuMu)(11)(41)(000内在若上在若外在若00000),(4),(2,011MMuMMuMdSnurrnu②若Fu，则MMMMMMMMdrMFdSnMurrnMuMu000)(41)(11)(41)(05、若u在以曲面为边界的