两角和与差的正弦、余弦和正切公式(共37张PPT)

[小题热身]1．(2015·课标全国Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12解析：sin20°cos10°－cos160°sin10°＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(10°＋20°)＝sin30°＝12.答案：D2．若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C.13D.23解析：因为sinα2＝33，所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13.答案：C3．已知cosx－π6＝－33，则cosx＋cosx－π3的值是()A．－233B．±233C．－1D．±1解析：cosx＋cosx－π3＝cosx＋12cosx＋32sinx＝32cosx＋32sinx＝332cosx＋12sinx＝3cosx－π6＝－1.答案：C4．设α，β都是锐角，那么下列各式中成立的是()A．sin(α＋β)sinα＋sinβB．cos(α＋β)cosαcosβC．sin(α＋β)sin(a－β)D．cos(α＋β)cos(α－β)解析：∵sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ，又∵α、β都是锐角，∴cosαsinβ0，故sin(α＋β)sin(α－β)．答案：C5．(2016·四川，11)cos2π8－sin2π8＝________.解析：由二倍角公式易得cos2π8－sin2π8＝cosπ4＝22.答案：226．若锐角α，β满足tanα＋tanβ＝3－3tanαtanβ，则α＋β＝________.解析：由已知可得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3，即tan(α＋β)＝3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π3[知识重温]一、必记4●个知识点1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝①________；cos(α∓β)＝②________；tan(α±β)＝③________.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝④________；cos2α＝⑤___________＝⑥___________＝⑦________；tan2α＝⑧________.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α3．公式的常用变形(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.4．角的变换技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝α＋β2－α2＋β.二、必明2●个易误点1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．考向一化简与求值问题[自主练透型][例1](1)(2017·河北名师俱乐部模拟)已知θ∈0，π4，且sinθ－cosθ＝－144，则2cos2θ－1cosπ4＋θ＝()A.23B.43C.34D.32(2)计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为()A．－12B.12C.32D．－32DB[解析](1)由sinθ－cosθ＝－144得sinπ4－θ＝74，∵θ∈0，π4，∴0π4－θπ4，∴cosπ4－θ＝34.2cos2θ－1cosπ4＋θ＝cos2θsinπ4－θ＝sinπ2－2θsinπ4－θ＝sin2π4－θsinπ4－θ＝2cosπ4－θ＝32.(2)sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.—[悟·技法]—(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．—[通·一类]—1.2sin235°－1cos10°－3sin10°的值为()A．1B．－1C.12D．－12解析：原式＝2sin235°－1212cos10°－32sin10°＝－cos70°2sin20°＝－12.答案：D2．化简：sin50°(1＋3tan10°)＝________.解析：sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°1＋3·sin10°cos10°＝sin50°×cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°×212cos10°＋32sin10°cos10°＝2sin50°·cos50°cos10°＝sin100°cos10°＝cos10°cos10°＝1.答案：1考向二给值求值问题[互动讲练型][例2](1)(2016·课标全国Ⅱ，9)若cosπ4－α＝35，则sin2α＝()A.725B.15C．－15D．－725[解析]解法一：sin2α＝cosπ2－2α＝cos2π4－α＝2cos2π4－α－1＝2×352－1＝－725.故选D.解法二：cosπ4－α＝22(cosα＋sinα)＝35⇒cosα＋sinα＝325⇒1＋sin2α＝1825，∴sin2α＝－725.故选D.[答案]D(2)(2017·河南八市重点高中质检)已知函数f(x)＝sinx－cosx，且f′(x)＝12f(x)，则tan2x的值是()A．－23B．－43C.43D.34[解析]因为f′(x)＝cosx＋sinx＝12sinx－12cosx，所以tanx＝－3，所以tan2x＝2tanx1－tan2x＝－61－9＝34，故选D.[答案]D—[悟·技法]—角的变换：转化为同角、特殊角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等；如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等；函数变换：弦切互化，化异名为同名．综合运用和、差、倍角与平方关系时注意角的范围对函数值的影响．当出现互余、互补关系，利用诱导公式转化．—[通·一类]—3．已知tan(α＋β)＝1，tanα－π3＝13，则tanβ＋π3的值为()A.23B.12C.34D.45解析：tanβ＋π3＝tanα＋β－α－π3＝tanα＋β－tanα－π31＋tanα＋βtanα－π3＝1－131＋1×13＝12.答案：124．已知cos(α－π6)＋sinα＝435，则sin(α＋7π6)的值是________．解析：由cos(α－π6)＋sinα＝435，可得32cosα＋12sinα＋sinα＝435，即32sinα＋32cosα＝435，∴3sin(α＋π6)＝435，sin(α＋π6)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－45.答案：－45考向三给值求角问题[互动讲练型][例3]若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4[解析]∵sin2α＝55，α∈π4，π，∴cos2α＝－255且α∈π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈π，3π2，∴cos(β－α)＝－31010，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝－31010×－255－1010×55＝22，又α＋β∈5π4，2π，所以α＋β＝7π4，故选A.[答案]A—[悟·技法]—(1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．(2)解这类问题的一般步骤为：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．—[通·一类]—5．已知α、β为锐角，sinα＝35，cos(α＋β)＝－45，求2α＋β.解析：∵sinα＝35，α∈0，π2，∴cosα＝45.∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)＝35×－45＋45×35＝0.又2α＋β∈0，3π2，∴2α＋β＝π.微专题(十)——易错警示三角函数求值忽视角的范围致误(1)已知0βπ2απ，且cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，则cos(α＋β)的值为________；(2)已知在△ABC中，sin(A＋B)＝23，cosB＝－34，则cosA＝________.[易错分析](1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B为钝角．[解析](1)∵0βπ2απ，∴－π4α2－βπ2，π4α－β2π，∴cosα2－β＝1－sin2α2－β＝53，sinα－β2＝1－cos2α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC中，∵cosB＝－34，∴π2Bπ，sinB＝1－cos2B＝74.∵π2BA＋Bπ，sin(A＋B)＝23，∴cos(A＋B)＝－1－sin2A＋B＝－53，∴cosA＝cos[(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cosB＋sin(A＋B)sinB＝－53×－34＋23×74＝35＋2712.[答案](1)－239729(2)35＋2712[温馨提醒]在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sinα＝sina2±cosα22，1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；