空间向量的夹角和距离公式1

诚朴信雅恒毅乐巧19．6空间向量的夹角和距离公式南昌大学附属中学高莹三维目标：知识与技能：⒈使学生知道如何建立空间直角坐标系，掌握向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题；⒉使学生经历对从生活中如何抽象出数学模型的过程，从而提高分析问题、解决问题的能力.过程与方法：通过采用启发探究、讲练结合、分组讨论等教学方法使学生在积极活跃的思维过程中，从“懂”到“会”到“悟”.情感、态度和价值观：⒈通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；⒉通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生“做数学”的习惯和热情.教学重点：夹角公式、距离公式．教学难点：数学模型的建立．关键：将生活中的问题转化为数学问题，建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标.教具准备：多媒体投影，实物投影仪.教学过程：(一)创设情境,新课导入2008年5月16日，南昌可以说是万人空巷,大家都把自己的爱国热情聚集在圣火的传递上，让我们值得骄傲的是火炬传递中的一站就是我们的南昌大学，其中途经我市雄伟而壮观的生米大桥,为记录传递过程，我校派了小记者在船上进行全景拍摄,出现了这么一个问题.引例:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2m/s的速度前进，小船以1m/s的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D点以东30米的1C点处，小船在水平D点以南方向30米的A处（其中1DD⊥水面）诚朴信雅恒毅乐巧2求（1）6s后火炬手与小船的距离？（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?（不考虑火炬手与小船本身的大小）.今天我们从另一个角度来分析这个问题.分析:建立数学模型问题（1）转化为:如何求空间中两点间的距离?问题（2）转化为：如何求空间中两条直线所成角的余弦值？1、空间两点间的距离公式111222(,,)(,,),AxyzBxyz已知：，则212121,,ABxxyyzz222212121()()()ABABABxxyyzz222,212121()()()ABdxxyyzz2、夹角公式设111222,,,,,axyzbxyz，则,aOAbOBcos,ababab121212222222111222xxyyzzxyzxyz(二)例题示范，形成技能例1:在离江面高30米的大桥上，火炬手由东向西以2m/s的速度前进，小船以1m/s的速度由南向北匀速行驶，现在火炬手在桥上1D点以东30米的1C点处，小船在水平D点以南方向30米的A处（其中1DD⊥水面）求（1）6s后火炬手与小船的距离？（2）此时的视线与开始时的视线所成角的余弦值?（不考虑火炬手与小船本身的大小）.xyzO111(,,)Axyz222(,,)BxyzaabD1C1DANM诚朴信雅恒毅乐巧3解：建立如图空间直角坐标系，则130,0,0,0,30,30AC0,18,30,24,0,0MN；（1）222241830MN302m（2）124,18,30,30,30,30MNAC.111cos,MNACMNACMNAC22224301830303026.5302303030此题所求的是空间两条直线所成角的余弦值，而不是两个空间向量夹角的余弦值，两者有什么区别？我们又如何转化为本题的结论？(三)学生互动巩固提高变式训练:实际上,我们刚刚就是在一个正方体中讨论两点间的距离,两条直线所成的角,而在正方体中还有许多的点与线,例2：（1）若G为MN的中点，求GB两点间的距离.（2）若1111114ABBEDF，求1BE与1DF所成的角的余弦值．(1)解：设G点的坐标为(,,)Gxyz，则12DGDMDN10,18,3024,0,0212,9,15.12,9,15,30,30,0GB,2221821153110.GB(2)解:如图，14530,30,0,30,,302BE诚朴信雅恒毅乐巧41150,0,0,0,,302DF.1115150,,30,0,,3022BEDF.111111cos,BEDFBEDFBEDF151530301522.171517151722请在上面例题的基础上,各编一个关于求夹角和距离的题目.拓展提高:我们知道平面上到两点距离相等的点的轨迹是一条直线,那么猜想空间上到两点距离相等的点的轨迹是一个平面,我们能不能把它表示出来呢?例3:求到M，N两点距离相等的点),,(zyxP的坐标x、y、z满足的条件．解:点),,(zyxP到M，N两点距离相等,则PMPN22201830xyz2222400xyz化简,得435540xyz即到到M，N两点距离相等的点的坐标点(,,)xyz满足的条件是435540xyz(四)概括提炼，总结升华求空间两点间的距离求空间两条直线的夹角建立空间直角坐标系写出相应向量的坐标求出相应向量夹角的余弦建立空间直角坐标系写出和设出点的坐标求出相应向量的模长MNP诚朴信雅恒毅乐巧5(五)布置作业，探究延续1．课本P42习题9.6⒎⒏⒐2．请同学们各编写一道关于求夹角和距离的题目,并解答.3．思考题：引例:何时小船与火炬手之间的距离最短?(六)板书设计：§9.6空间向量的夹角和距离公式1.两点间的距离公式例题作业2.向量的夹角公式小结3.中点公式