必修二第四章《圆与方程》整合复习

《圆的方程》复习课知识网络要点归纳1．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r;特别地，圆心在（0,0），半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程：①如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；②如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程．⑷圆具有许多重要的几何性质：切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦(弦心距、半弦长、半径构成特殊的RT△)；切线长定理；直径所对的圆周角是直角等等．充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量．2．点与圆的位置关系(1)代数法：点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：①点00(,)xy在圆222()()(0)xaybrr上：22200()()(0)xaybrr；②点00(,)xy在圆222()()(0)xaybrr内部：22200()()(0)xaybrr；③点00(,)xy在圆222()()(0)xaybrr外部：22200()()(0)xaybrr．点00(,)Mxy与圆022FEyDxyx的关系的判断方法：①点00(,)xy在圆022FEyDxyx上：2200000xyDxEyF；②点00(,)xy在圆022FEyDxyx内部：2200000xyDxEyF；③点00(,)xy在圆022FEyDxyx外部：2200000xyDxEyF．(2)几何法：点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：计算点00(,)Mxy到圆心（a,b）的距离d，比较d与r的大小：d=r:点在圆上；dr:点在圆外；dr:点在圆内注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r.3．直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断)．注意：(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离．(2)当直线与圆相交时，弦心距、半弦长、半径构成RT△．(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线：①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意．4．圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断)．(1)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线（公共弦所在直线）方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0（由两圆方程相减得到）.(2)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长．专题一求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：(1)选择圆的方程的某一形式；(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)；(3)解出a，b，r(或D，E，F)；(4)代入圆的方程．【例1】有一圆与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且圆经过点B(5,2)，求此圆的方程．解法一由题意可设所求圆的方程为(x－3)2＋(y－6)2＋λ(4x－3y＋6)＝0，又圆过点(5,2)，代入求得λ＝－1，∴所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.法一：标准方程+圆的切线（⊥）设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为C(a，b)，半径为r,由A、B在圆上，且CA⊥l，得a－32＋b－62＝a－52＋b－22＝r2，b－6a－3×43＝－1.解得a＝5，b＝92，r2＝254.∴圆的方程为(x－5)2＋y－922＝254.法二：一般方程+圆的切线（⊥）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心为C（-），由CA⊥l，A(3,6)、B(5,2)在圆上，得32＋62＋3D＋6E＋F＝0，52＋22＋5D＋2E＋F＝0，－E2－6－D2－3×43＝－1.解得D＝－10，E＝－9，F＝39.∴所求圆的方程为x2＋y2－10x－9y＋39＝0.法三：圆的性质：直径所对的圆周角是直角。设圆心为C，则CA⊥l，又设AC与圆的另一交点为P，则CA方程为y－6＝－34(x－3)，即3x＋4y－33＝0，又kAB＝6－23－5＝－2，∴kBP＝12，∴直线BP的方程为x－2y－1＝0.解方程组3x＋4y－33＝0，x－2y－1＝0，得x＝7，y＝3.∴P(7,3)．∴圆心为AP中点5，92，半径为|AC|＝52.∴所求圆的方程为(x－5)2＋y－922＝254.34622,351(4),2402CCAlCAxyxxy34330AB44ABAB法四：圆的性质：弦的垂直平分线必过圆心。设圆心为，则，则方程为：y-6=-(x-3)即＋－＝，又K，的中点为（）线段的垂直平分线方程为y-4=即2252409343302995(53)(6)22292524xxyxyy22由得圆心为（5,）,半径r=圆的方程为(x-5)+(y-)=专题二与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．②定义法：根据圆、直线等定义列方程；③几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．设动点的坐标为为(x,y)找到几何关系用方程表示几何关系整理得轨迹方程4.求轨迹方程的方法(04年全国)由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程是___________.x2+y2=4解：设),(yxP.∵APB=600，∴OPA=300.∵APOA，∴22OAOP，∴222yx，化简得422yx.2BAOPyx专题三直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．【例2】(2012·沈阳高一检测)已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝23，求直线l的方程．分析：求直线方程：已知点，再需斜率，斜率存在或不存在。解(1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0.作示意图如图，作MC⊥AB于C.在Rt△MBC中，|BC|＝3，|MB|＝2，故|MC|＝|MB|2－|BC|2＝1.由点到直线的距离公式得|k－1＋3－2k|k2＋1＝1，解得k＝34.所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，且|AB|＝23，所以适合题意．综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.直线与圆的交点问题1.若圆x2＋y2－2x＋4y+1＝0上恰有两点到直线2x+y+c=0(c0)的距离等于1，则c的取值范围是？2.若直线y=k(x-2)与曲线y=有交点，则21-x3311.-.-332231.0-.0-32AkBkCkDk有最大值，最小值有最大值，最小值有最大值，最小值有最大值，最小值专题四圆与圆的位置关系解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．【例3】已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．解(1)由题意得：C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10.则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝52；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝10.又|C1C2|＝25，r1＋r2＝52＋10，r1－r2＝52－10.∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0(3)法一两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0①x2＋y2＋2x＋2y－8＝0②两式相减得x＝2y－4③把③代入②得y2－2y＝0，∴y1＝0，y2＝2.∴x1＝－4y1＝0或x2＝0，y2＝2.所以交点坐标为(－4,0)和(0,2)．∴两圆的公共弦长为－4－02＋0－22＝25.法二两方程联立，得方程组x2＋y2－2x＋10y－24＝0，x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.两式相减得x－2y＋4＝0，即两圆相交弦所在直线的方程；由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圆心为C1(1，－5)，半径r1＝52.圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝|1－2×－5＋4|1＋－22＝35.设公共弦长为2l，由勾股定理r2＝d2＋l2得50＝45＋l2，解得l＝5，所以公共弦长2l＝25.专题五：与圆有关的最值问题：(1)求圆上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离；dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；(2)求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离，设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r；(3)已知点的运动轨迹方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①yx；②y－mx－n；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解，常涉及的量有斜率、距离、截距等．【例4】已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)yx的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．解原方程化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3，所以yx的最大值是3，最小值是－3.(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6，所以y－x的最大值是－2＋6，最小值是－2－6.(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.已知圆O1:x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0