非线性动力学浑沌与因果律-刘华杰北京大学哲学系

非线性动力学浑沌与因果律刘华杰北京大学哲学系0引子：“非”字当头的科学非标准分析…非牛顿流体力学…非史密斯地层学…非平衡统计力学…非线性科学……非线性vs线性数学家乌拉姆说：非“大象”动物浑沌出自非线性系统非线性动力学（nonlineardynamics）浑沌(chaos)Chaos词源简述•《神谱》中的卡俄斯•《庄子》中的浑沌•意义与指称：1.古代2.近代3.现代：普里高津的两种用法1非线性动力学•E.A.Jackson的书：Inthebeginning…1.1…therewasPoincare庞加莱（彭加勒）(模仿《圣经》开头一句)Ifmodernnonlineardynamicshasafather,itisHenriPoincare(1854-1912)奥斯卡国王的奖•N体问题全局通解•1889年1月21日获奖•1890庞加莱158页变到270页的长文发表于《数学学报》。拓朴学，分岔理论，遍历理论，同宿轨道•《天体力学的新方法》三卷本•但庞加莱并不为同时代人所理解，他与三次科学革命的接触！•伯克霍夫,莫尔斯,李特尔伍德,斯梅尔3二十世纪60年代的两个突破•保守系统：KAM定理Kolmogorov-Arnold-Moser,333阶导数,阿诺德扩散，标准映射,•耗散系统：洛仑兹(E.Lorenz)微分方程,10年后才为人所知一维非线性映射，杜芬方程，范德坡方程•以上研究都发现了chaosLorenz方程(1963))28,38,10(),,(.,)(rbxzxybzxydtdzxzyrxdtdyyxdtdx标准取值非线性项为Lorenz系统相空间几何示意图(I)Lorenz系统相空间几何示意图(2)浑沌故事多•1963,1972-73,74,75,Lorenz-Feller-Jorke-Li-RobertMay•1975年12月《美国数学月刊》•“周期三则浑沌”，经典论文•洛仑兹，上田与导师林千博•“浑沌与流行的乐观主义背道而驰”。Duffing振子与Ueda吸引子tFxdtdxdtxdtetfdtdxdtxdcos)()(32222或ChihiroHayashi,YoshisukeUeda上田吸引子Y.UedaAttractor1970-1980年代一维非线性麻雀•源于实际的种群生态学问题•非线性映射的数学分析：符号动力学（起源更早，MSS，DGP）•麻雀虽小。。。•Feigenbaum常数Li-Yorke定理：假设f是从实数空间R到实数空间R的连续函数，同时假设f有一个周期3点，则存在一个不可数的子集S，对于S中的任何两点x，y，有0|)()(|suplimyfxfnnn.0|)()(|inflimyfxfnnn一维逻辑斯蒂映射)]1(exp[:3,1:2),1(:11211nnnnnnnnXXXXXXaXX0参数空间相空间准备放大此部分伯努力移位映射(Bernoullishift)展示对初始条件的敏感依赖性(SDI)（以下据朱照宣，1984，1992）无限不循环无理数，变为周期循环：nnknnknnxxxMxxxxnMxxx)81211(2813)4(.0,2)811(2813)3(...7/67/37/57/6...,2813)2(.0,,2/)1()1(mod21000)4(01000)3(0)2(0)1(01福特教授，浑沌福音传教士，组织科莫会议。普里高津，郝柏林R.May,JeffXia(夏志宏),G+P算法，浑沌控制，圣菲研究所4浑沌淘金热（1980年代后）概念小结：“中央之帝”为Chaos•Therearesystemswhosetrajectoriesdonotmonotonicallyapproximateanyidealstate.Theyaresensitivedependencetoinitialconditions.•浑沌轨道在相空间中：回复而不殆，周行而不闭。•浑沌轨道在轨道意义上不稳定，在结构意义上可以稳定：局部上总也安顿不下，整体上又跑不掉。5浑沌哲学之一:因果性或者分离规则（MP）Hi:“Ihavefoundthatsuchanobject(物象)hasalwaysbeenattendedwithsuchaneffect,”Hii:“Iforeseethatotherobjectswhichareinappearancesimilarwillbeattendedwithsimilareffects.”“Thesetwopropositionsarefarfrombeingthesame.”(Hume，AnInquiryConcerningHumanUnderstanding,TheLibraryofLiberalArts,Bobbs-Merrill,1955,p.48)•休谟认为，由Hi不可能必然地得到Hii。•那么Hi∧？→Hii？•要加点儿什么？要补充什么条件？•自然的均一性、归纳原理？联想律？休谟论因果性休谟谈到了两种相似性初始条件的相似性，这属于测量问题，与经验论的假设有部分关系。条件句蕴涵关系的相似性，这才涉及因果必然性的问题、归纳推理可靠性的问题。两种相似性的澄清•Hiii：此一原因必导致此一结果（A→B）•Hiv：相似的原因导致相似的结果（A+δA→B+δB）•前一种相似性用“δ”刻画，后一种相似性用“→”刻画。•Hi∧？→Hii或者Hiii∧？→Hiv分离规则MP的地位与性质•逻辑学的基石之一Modusponens：（1）若A则B（2）已知A（3）所以B•从卡罗尔悖论到MP的可操作性•演绎逻辑与归纳逻辑不对称性的恢复麦克斯韦（1831－1879）于1873说：•“从同样的前件得出同样的后件，这是一个形而上学教条。没有人能否定这一点。但是，实质上它并无很大用处，在这个世界上，同样的前件从不再出现，任何事物也不发生两次，……物理学公设与此有类似之处：‘从类似的前提得出类似的结果。’然而，在这里我们从相同过渡到了相似，从绝对的精确性过渡到了多少有些粗糙的近似。对于某些类现象，数据中小的误差在结果中只引起小的误差。在这些情形中，事件的进程是稳定的。也可以出现不稳定性，随着变量数目的增加，这些情形的数量以极快速的方式增长。”麦克斯韦还说：•“若事物之状况使得当前状态(state)的无穷小的改变，对某个未来时间的状态将只改变一个无穷小量，那么，此系统的态势（condition）,无论是静止还是处于运动中，都称作稳定的。若当前状态的一种无穷小的改变，在有穷时间内可以引起系统状态的一种有穷的差别，则系统的状态称作不稳定的。现已明确，不稳定态势的存在性，使得对未来事件的预测变得不可能，如果我们对目前状态的知识只是近似的而非精确的。”布里渊(L.Brillouin）1964年说：•“翻开一本纯数学书，看一个定理，总会见到这样的叙述：给定某些条件A、B、C,假定它们被确切地满足，则可以严格证明结论Q正确。物理学家不禁要问，我们怎么知道条件A、B、C已被确切地满足？”•“我们所知道的唯一东西是，A、B、C可以在一定范围内被近似地满足。那么，定理证明了什么呢？或者A、B、C的很小的误差可以导致结果Q的很小的偏差；或者不然，可能完全破坏了Q。”稳定性条件？•无论是麦克斯韦、庞加莱还是布里渊，都远远走在时代的前列（约超前50－80年）。•浑沌系统对初始条件具有敏感依赖性，不满足稳定性假设，因而对于这样的系统，由Hiii无法得到Hiv。这里非常重要的一点是，初条件的行为具有奇异性，不具有“单调性”。•打个比方，由北京天安门前的国旗杆处出发，到达上海浦东的东方明珠塔这个目标。朱照宣,1987年,牛顿《原理》三百年祭•“《原理》发表以来的三百年，牛顿力学经历了两个阶段。前280年是一阶段。那时认为由运动微分方程所确定的动态总是确定性的。……后20年则是另一个阶段。以卡姆定理(KAM)为代表的浑沌理论提示了决定论和随机论之间、牛顿力学和统计力学之间没有不可逾越的界线。……不仅大量粒子的系统要用统计力学，两个自由度的保守系统运动也得用统计力学，连掷骰子本身也既是决定论的又是概率论的。它从根本上为牛顿力学摘除了‘机械论’的帽子。”(朱照宣1987,第1-2页)费格尔（HerbertFeigl,1902-1988）说“AcausesB”or“AisthecauseofB”meansthatwhereverandwheneverAoccursitisfollowed(orattended)byB.SinceapreciserepetitionofAmaynotbefeasible(ordiscoverable),alessstringentformulationwouldusesomethinglikeamathematicallimitprocess:ThemoretheactualconditionA'approximatestheconceived(ideal)conditionA,themoreactualeffectB'willapproximatethe(ideal)effectB.(H.Feigl,NotesonCausality,inReadingsinthePhilosophyofScience,1953,pp.408-418.)续HerbertFeigl•汉语大意为：“A引起B”或“A是B的原因”意味着，B总是跟随A。由于精确重复A不可能实现或不可测量，就要用到一种不太严格的类似数学极限过程的形式：实际条件A′越趋近于给定理想条件A，实际的结果B′就将越趋近于理想的结果B。•评：但是，极限可能不存在！可能不存在单调的趋近过程（参见Li-Yorke定理）•但是科学哲学家迪昂和波普尔是知道动力学不稳定性带来的问题的。6讨论•因果性的必然性问题，不是一个纯逻辑学问题，不可能只通过逻辑论证得到彻底解决。的确，是人的活动奠定了因果性的基础。因果律天然具有任意性、模糊性。•它也不是在经验论框架内可以解决的。休谟采用怀疑论与人性论的双重标准。康德用先天综合真理“解决”了此问题，但是与自然科学不符！设想的必然性在哪里？•必然性、偶然性等都只是人类建构的观念，用来模拟自然过程，自然过程没有必要一定要符合人的此类模拟。人的认识介于偶然与必然两极中间的广阔地带。•模型与实在的相似性是自然科学成功的一个关键，但模型是可错的，所以科学也是可错的。自然科学理论没有（逻辑）必然性。•任何一种好的科学理论也只是暂时合理的。Chaos对于认识增加了什么？•在自然科学层面，chaos告诉我们，简单的非线性作用也能导致复杂的结果；复杂结果的原因也可能是简单的。•休谟的怀疑是千真万确的，发展科学，就是要寻找各种各样具体的稳定性、对称性、不变性、规律、均一性、可预测性等等。•对于Hume举的那个具体例子，科学家要针对不同的系统，找出Hume-Maxwell-Duhem-Brillouin条件，才能保证操作性因果律的实现。此条件在不同的前提假定下有不同的提法。置因果律于何地？•操作性因果律有时无法实现，由此仍然不能得出抛弃因果律的强结论，实际也没必要。•即使考虑量子现象，也没有必要抛弃因果律。如H.Bergmann所认为的，因果律是科学的先验前提，是不能由经验证明或推翻的，它的可能性就是一切科学的可能性。Carnap也说：休谟并不打算摒弃因果性概念，只是要纯化它。•我们也不想简单地放弃因果律，而是要明确它的或然性，进而确定因果推断成立的具体条件。延伸阅读：《天遇》，上海科技教育出版社。《混沌：开创新科学》，上海译文出版社。高教社2004年有新版。《浑沌语义与哲学》，湖南科学技术出版社。《机遇与混沌》，上海科技教育出版社。《浑沌学纵横论》，中国人民大学出版社。