1.3-导数在研究函数中的应用

导数在研究函数中的应用11.3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性一、[回顾]：1.常见函数的导数公式：0'C；1)'(nnnxx；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos奎屯王新敞新疆xx1)'(ln；exxaalog1)'(log；xxee)'(；aaaxxln)'(2.法则1'''[()()]()()fxgxfxgx．法则2[()()]'()()()'()fxgxfxgxfxgx,[()]'()cfxcfx奎屯王新敞新疆法则3'2()'()()()'()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx二、[新知识]：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单奎屯王新敞新疆1.函数的导数与函数的单调性的关系：我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像可以看到：在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y0时，函数y=f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x)在区间（－∞，2）内为减函数.[定义]：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数奎屯王新敞新疆2.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间.x(,2)2(2,)/()fx负0正()fx减函数增函数21fx=x2-2x+4xOy导数在研究函数中的应用2三、[例题分析]：例1．确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例2．确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.例3.证明函数f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.f(x1)－f(x2)=21122111xxxxxx∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴2112xxxx＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=x1在(0，+∞)上是减函数.证法二：(用导数方法证)∵/()fx=(x1)′=(－1)·x－2=－21x，x＞0，∴x2＞0，∴－21x＜0.∴/()0fx，∴f(x)=21x在(0，+∞)上是减函数.点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.例4．已知函数y=x+x1，试讨论出此函数的单调区间.21fx=2x3-6x2+7xOy导数在研究函数中的应用3解：y′=(x+x1)′=1－1·x－2=222)1)(1(1xxxxx令2)1)(1(xxx＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+x1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xxx＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)奎屯王新敞新疆四、[练习]：1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x3(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(x－x3)′=1－3x2=－3(x2－31)=－3(x+33)(x－33)令－3(x+33)(x－33)＞0，解得－33＜x＜33.∴y=x－x3的单调增区间是(－33，33).令－3(x+33)(x－33)＜0，解得x＞33或x＜－33.∴y=x－x3的单调减区间是(－∞，－33)和(33，+∞)2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b,令2ax+b＞0，解得x＞－ab2-22-11fx=x+1xxOy导数在研究函数中的应用4∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－ab2，+∞)令2ax+b＜0，解得x＜－ab2.∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞，－ab2)3.求下列函数的单调区间(1)y=xx2(2)y=92xx(3)y=x+x(1)解：y′=(xx2)′=2222xxxx∵当x≠0时，－22x＜0，∴y′＜0.∴y=xx2的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞)(2)解：y′=(92xx)′222)9(29xxxx222222)9(9)9(9xxxx当x≠±3时，－222)9(9xx＜0，∴y′＜0.∴y=92xx的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞).(3)解：y′=(x+x)′12112121xx.当x＞0时x21+1＞0，∴y′＞0.∴y=x+x的单调增区间是(0，+∞)奎屯王新敞新疆五、[规律总结]：f(x)在某区间内可导，可以根据/()fx＞0或/()fx＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当/()fx=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数奎屯王新敞新疆导数在研究函数中的应用51.3.2极值点一、[回顾]1.常见函数的导数公式：0'C；1)'(nnnxx；xxcos)'(sin；；xxsin)'(cos；xx1)'(ln奎屯王新敞新疆exxaalog1)'(log；xxee)'(；aaaxxln)'(2.法则1)()()]()(['''xvxuxvxu法则2[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux法则3'2''(0)uuvuvvvv3.复合函数的导数：xuxuyy'''(理科)4.函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y0，那么函数y=f(x)在为这个区间内的减函数5.用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f′(x).②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间奎屯王新敞新疆二、[新知识]：1.极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值奎屯王新敞新疆请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念奎屯王新敞新疆由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小奎屯王新敞新疆并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的奎屯王新敞新疆即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个奎屯王新敞新疆（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系奎屯王新敞新疆即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf)(1xf（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点奎屯王新敞新疆而使函数取得导数在研究函数中的应用6最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点f(x2)f(x4)f(x5)f(x3)f(x1)f(b)f(a)x5x4x3x2x1baxOy4.判别f(x0)是极大、极小值的方法:若0x满足0)(0xf，且在0x的两侧)(xf的导数异号，则0x是)(xf的极值点，)(0xf是极值，并且如果)(xf在0x两侧满足“左正右负”，则0x是)(xf的极大值点，)(0xf是极大值；如果)(xf在0x两侧满足“左负右正”，则0x是)(xf的极小值点，)(0xf是极小值(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数/()fx(2)求方程/()fx=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查/()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值三、[例题分析]例1.求y=31x3－4x+31的极值解：y′=(31x3－4x+31)′=x2－4=(x+2)(x－2)令y′=0，解得x1=－2，x2=2当x变化时，y′，y的变化情况如下表x,2-2(-2,2)22,导数在研究函数中的应用7y+0－0+y↗极大值(2)f↘极小值(2)f↗∴当x=－2时，y有极大值且max173y当x=2时，y有极小值且min5yf(x)=13x3-4x+42-2xOy例2.求y=(x2－1)3+1的极值奎屯王新敞新疆解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1奎屯王新敞新疆当x变化时，y′，y的变化情况如下表奎屯王新敞新疆x,1-1(-1,0)0(0,1)11,y－0－0+0+y↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x=0时，y有极小值且min0y1-1fx=x2-13+1xOy求极值的具体步骤：第一，求导数/()fx.第二，令/()fx=0求方程的根，第三，列表，检查/()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这根处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点奎屯王新敞新疆导数在研究函数中的应用8四、[练习]：1．求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=72.当x变化时，y′，y的变化情况如下表.x7,2727,2y－0+y↘极小值254