高中数学“点到平面的距离”教学实录

1以点带面融会贯通---“点到平面的距离”教学实录1背景05年11月，笔者受浙江省教研室、浙江省特级教师协会的委托，到浙江省丽水市遂昌中学送教，在该校高三（1）班上了一节立体几何复习课，参加活动的有丽水市各普通高中的数学教师代表，课题是空间距离的求法，笔者以2003年全国高考数学试题（文史类）的第17题（第一个解答题）的第（II）问为例题，与学生对这个题目进行了的深入的研究、讨论、探索．通过这堂课，不仅使学生掌握了求点到平面距离的一些常用方法，提高了学生的思维能力，而且让学生体会数学发现的快乐．2点击各样距离,聚焦点面距离.教师：我来自千里之外的宁波北仑,中国有句古话,叫做“有缘----”学生：“有缘千是里来相会”，教师：对!相聚确实是一种缘分，今天我和大家能相聚在这里，也是一种缘分，但愿我们能愉快地度过这45分钟.且彼此都留下美好的印象.今天我们要讨论的话题是如何求距离．到现在为止我们已经学过那此距离？学生：点到点的距离、点到线的距离、点到面的距离、直线到直线的距离、直线到平面的距离、还有平面到平面的距离等等．教师：在空间中特有的距离有哪几种？学生：异面直线间的距离、直线到平面的距离、点到平面的距离、两平行平面间的距离．教师：即“四大距离”相当于蒋、宋、孔、陈四大家族.都是很重要的,这里有个问题,我今天讲课题是点到平面距离,为什么不是其它距离呢?好像我只对点面距离情有独钟,你能说出点到平面的距离，是靠什么“什么魅力”把吴老师深深的吸引？你能明白我的心吗？学生：点面距离最重要!教师：难道其它距离就不重要了吗?还是让我们先设法弄清楚这四大家族的关系如何？为什么点面距离是最重要的,先看一看面面距离是如何定义的？学生：两平行平面公垂线段的长即为两平行平面间的距离（用讲台桌面和一书本作为模型）.教师：你是如何求两平行平面间的距离的？学生：只要求出其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离即可.教师：即要求面面距离只须求---学生：只须求点面距离.教师：即面面距离可化归为点面距离．让我们再瞧一瞧线面距离（用教鞭及讲台桌面作为模型）线面距离是如何定义的？学生：直线和平面平行时，直线上的任意一点到平面的距离即为直线到平面的距离.教师：即线面距离必须化归为点面距离.最后让我们来看一看异面直线间的距离,(作出图形)学生：异面直线的公垂线段的长即为异面直线的距离.教师：照理说要求异面直线的距离必须画出异面直线的公垂线段,但要画异面直线的公垂线段是一件很不容易的事情,如图b,a是异面直线,AB是它们的公垂线段,过点B作a的平行线1a,则直线b,a1确定的平面和a的关系如何?学生：平行!2教师：AB和平面M的关系如何?学生：垂直.教师：AB的长即为A到平面M的距离,即为直线a到平面M的距离.所以异面直线的距离也可以化归为线面距离,最终可化归为点面距离,由此可知,这四个距离中家族中,起决定作用的法人代表是谁?学生：是点面距离.3给出典型问题,引导学生探索.教师：毫无凝问,点面距离是众多距离中决定作用的法人代表，是众多距离中的最耀眼的明星，老师也是追星族,对点面距离情有独钟一点也不奇怪了.下面我们设法把这个法人代表搞定.今天我们用一节课时间就做一个题目，请大家看手头中的讲义，先请大家试着做一做(:学生各自解答讲义中的例题,教师在黑板上画好基本图形)例题（由2003年全国高考试题改变）已知：正四棱柱1111DCBAABCD中，21AA，1AB，点E为1CC的中点.求:点1D到平面BDE的距离.教师:为了叙述方便,我们所求的点称为“目标点”，如本题中的目标点为1D，所涉及的平面称为目标平面，如本问题的目标平面为平面BDE．下面请各位同学试着做一做！4展示各种解法,总结思想方法.（大约六、七分钟后）教师：下面请同学们展示一下自己的解法，这种机会是很难得，哪位同学先勇敢地站起来介绍一下自己的解法？好的，请你先说一说总的思路和方法！学生：我是用体积法做的．教师：哪就是说没有画出垂线段！学生：因为BDE是边长为2的正三角形，所以其面积为23，接下去求出三棱锥1DEDB的体积教师：其体积是如何算？学生：DED1的面积为1，高BC也为1，所以其体积为31，点1D到平面BDE的距离为332教师：大家听清楚了吗？学生：清楚了.教师：他说得好不好?学生：好!教师：大家鼓励一下.学生：(掌声.)教师：我们给这种方法取个名字.学生：运用体积法.教师：运用体积法的解题程序如何.第一步干什么,第二步干什么?学生：先看中一个四面体，再求它的体积，再求出所求点对面的哪个面的面积．（板书：运用体积法图形→体积→面积→结论）教师：这是最简捷的解法,也是最美的解法,如果是考试时解题,我们就可以到此为止了,因为考试解题一题一解即可,且最好能把你的绝活亮出来,越简捷越好,是以拿到分数为目的.而平时做题则不同,是以提高能力为目标的，我认为要高考数学要取得好成绩，必须要解决的问题是政策和对策的问题，即所的谓的“上有政策，下有对策”，A1B1D1C1ADCBEA1B1ABD1C1CDEO3对于求点面距离这个政策，你还有哪些其它对策呢？今天，不管是漂亮的方法，还是丑陋的方法，都给以亮相的机会，下面接着展示学生：我是用坐标法做的．教师：你是如何建立直角坐标系的？学生：以D为原点，用右手坐标系（教师作图）可经得到：0,0,0D,1,1,0,0,1,1,2,0,01EBD教师：请问你其它点的坐标为何不写了？学生：写了也白写！教师：对写了也白写还不如不写．下面干什么事情？学生：求出平面DBE的一个法向量，设法向量为zyxn,,，而0,1,1DB,1,1,0DE由nDB且nDE，可得法向量为1,1,1n教师：法向量求出以后干什么用呢？学生：可以求出距离了，2,0,01DD，1DD的长以及它和法向量的夹角都可以知道，由此可得∴点1D到平面BDE的距离d=332,cos11DDnDD教师：我们也给这种解法取个名字，学生：坐标法教师：对，空间坐标法，用空间坐标法的解题程序又如何呢？学生：先建立空间直角坐标系，相关点用坐标表示之，求出目标平面的法向量，再找一条过目标点的斜线段，由内积公式求出它和法向量所成的角，最后终得距离．（板书：空间坐标法建坐标→坐标化→法向量→斜线段→算夹角→求距离）教师：前面两位同学的都比较狡猾，没有按照点面距离的定义，画出点到线的距离，画出距离可不可以呢？学生：设正四棱柱1111DCBAABCD两底面的中心分别1,OO;则只须求出点1O到平面BDE的距离．教师：为什么？学生：因为11BD∥平面DBE．教师：你为什么要把所求的点转移到点1O学生：因为点1D不好商量，过1D作平面DBE的垂线画出来，教师：所以我们要让这个点跑到面的里面,下面说一说你是如何作辅助线的，你怎么说我就怎么画,如果我是电脑,那么你是鼠标.学生：先证明平面OEO1与平面DBE垂直，交线为OE，再作OEHO1于H,则HO1平面DBE.则HO1即为点1O到平面BDE的距离．教师：下面问题即化归到求等腰三角形OEO1一腰上的高的问题，这里这不放慢镜头了.这种招式也是求点面距离的常用招式,我们也给它取个名字,怎么样?学生：-----教师：这种解法的要点是先逃跑,后作垂线,先实行战略转移,再作距离,A1B1ABD1C1CDEO1OH4学生：逃跑转移法教师：不够文明,还是叫平行转移法吧!平行转移法的解题的主要步骤如何?学生：第一步,先找一条直线,使目标点可以在这条直线上跑,第二步,找一个好位置再作目标平面的垂线,教师：怎样才算好位置呢?学生：能画出垂线的位置教师：“足”是什么，足就是脚，就是要使其有“立足之地”，什么情况下保证有立足之地呢？这里有一个基本的套路，我介绍一下，当两个平面垂直时，有何重要性质？学生：面面垂直，则线面垂直．教师：即当两个平面垂直时，可在其中一个平面内，过某一点作两平面交线的垂线（用模型），则这条直线与另一个平面垂直了，刚在为什么我们看上点1O呢？因为1O生长在平面OEO1中，且平面OEO1和基本平面是垂直的．（板书：平行转移法找线→找点→画垂线→算距离）教师：用平行转移法的前提是能找到一条过目标点且与目标平面平行的直线，即为目标点设计一条逃跑的通道，且在这条通道上能找到一个好的点，若不具备这些条件，这种法显然不灵了．是否还有其实它方法？学生：线段1BD的中点为Q,Q到平面BDE的距离为h,则点1D到平面BDE的距离为2h.教师：所以只须求出Q点到平面BDE的距离，用的方法还是转移法．作图方法如何？学生：由平行转移法可知，平面BDE和平面QOE垂直，且交线为OE，作PQOE于P,则QP平面BDE.只须求PQ的长即可．教师：其解题的基本步骤如何？学生：与平行转移法差不多．教师：还是找线→找点→画垂线→算距离，但找的线不是平行线，而是过目标点的作目标平面的一条斜线段.这样做的理论根据是什么?(教师作图)学生：理论根据是相似比,如图A、B两点到平面的距离之比等于OA与OB的长度之比．教师：所以我们把这种方法叫做----学生：比例转移法．（板书：比例转移法找线→找点→画垂线→算距离）教师：平行转法也好，比例转移法也罢，执行的都是逃跑主义路线，难道这个1D点真的有怎么臭吗？过点1D作平面BDE的垂线难道真的很难吗？现在我要求大家安慰一下这颗受伤的心，即坚定不移地过点1D作平面BDE的垂线，学生：-------教师：垂线段不好作的原因是什么？学生：1D的腿没地方去伸了，教师：刚在我们用转移法时，把目标盯在哪个点上，其实也可以换一个角度，也可以让基本平面有所表示，画大一点不就得了学生：延长BE和11CB交于点G，连接1,GDGD.∵EC1∥1BB且1121BBEC.∴2EDEBGE.∴090BDG即DGBD.∵DGBD∴BD平面GDD1.∴平面BDG平面GDD1且交线为DG.作DGKD1于K,则KD1平面A1B1ABD1C1CDEOQPkODCBAA1B1D1C1ABCDEGK5BDG,即KD1平面BDE.∴KD1即为1D到平面BDE的距离.教师：这种方法可能是比较傻的方法了，它好象是排球比赛中的高点强攻，我们也给一个名字，叫做“直接构作法”，你认为直接构作法的解题的关键是什么？学生：能过找到一个过目标点，且与目标平面垂直的平面，教师：找到了又怎样呢？学生：找到后，只须过目标点，作这个平面和目标平的交线的垂线即可．教师：对，面面垂直，则线面垂直.(板书:直接构作法找垂面→作垂线→算距离)5类比二维问题,猜想距离公式.教师：在三维空间中的求点到平面的距离,相当于在二维空间中的什么问题？学生：相当于求点到直线的距离．教师：点到直线的距离的问题我们是已经彻底解决了的,既可以定性分析,又可定量分析,在平面解析几何中,若点P的坐标为00y,xP，直线l的方程为：0CByAx:l则点P到l的距离为多少？学生：2200BACByAxd,教师：在平面点的坐标可以用两个量表示，在空间点的坐标可以用三个量表示,如000z,y,xP，在平面中，直线的方程是关于yx,的二元一次方程，可以写成形如0CByAx:l的模样，那么，在空间，你认为平面的方程应该长啥模样？学生:猜想平面的方程也是一个关于zyx,,的三元一次方程,教师：可以写成怎样的形式？学生：可以写成形如0DCzByAx:的形式．教师:如果点000z,y,xP,平面0DCzByAx:，则点P到的距离是多少，是否也有类似的公式?请大家大胆猜想．学生：222000CBADCzByAxd,教师：事实上这个公式也可以给出证明，其证明的思想方法与点到直线的距离公式的证明方法类似，有兴趣的同学不妨去试一试．若这个公式可能拿来用，则求点到平面的距离还有第六种方法，即运用公式法．下面大家运用这个公式再计算一下本题．学生：由空间坐标法的解法可知2,0,01D，平面BDE的方程式为:0zyx所以其距离为33