仿射变换--不变量

第2章仿射变换1第2章仿射变换2.2仿射不变性与不变量经过平行射影不改变的性质和数量，称为仿射不变性质和仿射不变量.．经过仿射对应它们也是不变的．由前面所述，可知同素性、结合性都是仿射不变性质．因此，仿射对应把共点的线变成共点的线，把共线的点变成共线的点．此外我们还可以证明如下的一些不变性质和不变量．定理2.1二直线间的平行性是仿射不变性质．证明设a与b是平面内的两条平行线，'a与'b是它们在平面'内的仿射对应下的象．下面证明'a与'b平行．若'a与'b不平行，交于'P点，那'P有原象点P，P在a上，又在b上，于是a与b相交于P，即a与b不平行矛盾，于是'a与'b平行．aba’b’图2-4由上面的结果可知推论2.2平行四边形在仿射对应下的象还是平行四边形．思考题：正方形在仿射对应下的象是不是正方形？定义2.1设CBA,,是直线上三点（见图2-5），有向线段的比BCAC,称为这三点的简比（或单比），记为)(ABC，即BCACABC)(.ABC第2章仿射变换2图2-5显然：⑴当C在BA,之间时，0)(ABC,⑵当C在BA,之外时，0)(ABC,⑶当AC时，0)(ABC,⑷当BC时，)(ABC．定理2.3共线三点的简比是仿射不变量．证明首先注意到，简比在平行射影下是不变的，(见图2-6).由初等几何这是显然的.因此，经过有限次平行射影变换也是不变的，即它是仿射不变量．ABlCCBA图2-6定理2.4两条平行线段的比是仿射不变量．证明设AB与CD是两条平行的线段见图2-7，BDDB过AB上取E，使BDCE是平行四边形，它们在仿射对应下的象是''''DCBA与'E．EC由上面推论2.2可知，''''ECDB是平行四边形，ACE''BA平行与DC，由于简比是仿射A不变量，因此图2-7第2章仿射变换3''''''''''')()(DCBABEBABEAAEBEBABCDAB定理证毕．定理2.5直线上两条线段的比是仿射不变量．证明留做作业．注：一般地，任意两直线段之比，不是仿射不变量.下面证明：平面上两个图形的面积之比是仿射不变量.先证明一个引理．引理2.6在平行射影下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数．证明设A与'A，B与'B是两对平行射影对应点，如图2-8，ACBA0b0PgAC’0C0BB’A’C’图2-8图2-9从而'AA平行于'BB，从这些点到对应轴作垂线'0'0'0'0,,,BBBBAAAA，若AB和''BA平行与对应轴g，结论是明显的.设AB与''BA交g于P.则PBPABBAABPAPBBAA'''0''0'00,而PBPABPAP''于是第2章仿射变换4'0''0'00BBAABBAA从而有kBBBBAAAA'0'0'0'0（常数）这个比例常数k由平行射影确定．定理2.7在仿射对应下，任何一对对应三角形面积之比等于常数.换句话讲，任意两个三角形面积之比是仿射不变量．证明先对平行射影证明，然后推广到仿射对应．⑴若对应三角形ABC与'''CBA有两对对应点，A与BA,'与'B重合在对应轴g上，由第三对对应点C与'C，作g的垂线'0'0,CCCC见图2-9.则0'0''''CCCCABCCBA，这里ABC表示了三角形的面积，由引理2.6知道，上式右边是一个常数k，所以ABCkCBA'''．⑵一般情况.如图2-10所示，ABC与平行射影对应的'''CBA中，三对对应边相交于对应轴g上于三点ZYX,,．CABYXZABC图2-10由上一步的证明YZAXZBYXCCBA''''''，第2章仿射变换5AYZkBXZkCYXk，ABCk.当ABC与'''CBA有一对对边平行，且与g没有交点时，结论显然还是成立的.上面对平行射影证明了定理2.7，下面就一般的仿射对应证明定理2.7．设1上三角形1经平行射影1T变到2上三角形22,经2到3的平行射影变到3上3，以此类推，1n上1n经过1n到n的平行射影1nT变到n上三角形n．由上面证明，每一次投影，有一个面积比较常数,,...,,121nkkk，于是11223112,...,,nnnkkk所以1121...nnkkk.若1是1上另一个三角形，经过121,...,,nTTT变成n上三角形n，且1121...nnkkk,故有11nn证毕．推论2.8任何两个多边形的面积之比是仿射不变量，因此任意两个图形的面积之比是仿射不变量。．练习２－２1、证明：三角形的重心有仿射不变性．2、证明：平行四边形的中心有仿射不变性．3、证明：梯形在仿射对应下仍为梯形．4、证明：任意两个多边形面积之比是仿射不变量．5、已知平面上的一条定直线pl,为平面上的任意一点,p点的对应点p是点p关于直线l的对称点,这种变换称为反射变换,定直线叫做它的轴.试证明:反射变换是仿射变换．