专题-解析几何知识点汇总(全)

自强不息厚德载物-1-直线的方程1、直线的方程：类型直线方程方向向量d法向量n斜率k截距x轴y轴两点式112121xxyyxxyy2121(,)xxyy2112(,)yyxx2121yyxx//点方向式vyyuxx00),(vu),(uvuv//点法向式0)()(00yybxxa),(ab),(baba//点斜式)(00xxkyy),1(k)1,(kk//截距式1nymx),(nm),(mnmnmn斜截式ykxb),1(k)1,(kk/b一般式0CByAx),(AB),(BABAACBC注意：（1）点法向式方程和一般式方程可以表示所有的直线；（2）两点式方程和点方向式方程不能表示垂直于x轴或垂直于y轴的直线；（3）点斜式方程和斜截式方程不能表示垂直于x轴的直线；（4）截距式方程不能表示经过原点的直线．2、直线的倾斜角和斜率：（1）直线的倾斜角为平面直角坐标系中直线与x轴正半轴的夹角．取值范围：),0[；（2）直线的斜率：2),2()2,0[,tan不存在，k；自强不息厚德载物-2-00200tan[0,)(,)22202kkkkk在和上单调递增不存在=．（3）若直线过点),(11yx，),(22yx，则该直线的斜率21211212,xxxxxxyyk不存在，，Rk．3、两条直线的位置关系：已知0:1111cybxal，0:2222cybxal，则（1）系数法：①0212121bbaall；特别地，若1l的斜率为1k，2l的斜率为2k，则12121llkk；②1l与2l相交1221abab；③1l与2l重合111222::::abcabc；④1l与2l平行112211221122::::::ababacacbcbc或．（2）向量法：已知1l的法向量为111(,)nab，2l的法向量为222(,)nab，则①12ll120nn12120aabb；特别地，若1l的斜率为1k，2l的斜率为2k，则12121llkk；②1l与2l相交12nn与不平行1221abab；③1l与2l平行或重合12nn与平行1221abab．（3）行列式法：已知1122abDab，1122xcbDcb，1122yacDac，则11l与2l相交0D；②1l与2l重合0xyDDD；自强不息厚德载物-3-③1l与2l平行0xyDDD、不全为零．4、两条相交直线0:1111cybxal和0:2222cybxal的夹角：（1）若1l、2l的法向量分别为112(,)nab、222(,)nab，且1l、2l的方向向量分别为1d、2d，则1212122222121122cosnnaabbnnabab或1212cosdddd，[0,]2；（2）若1l、2l的斜率分别为1k、2k，且1l到2l的角为1，2l到1l的角为2，则)2,0[,1tan2121kkkk；211211tankkkk，212121tankkkk．5、点到直线的距离公式：（1）点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为2200BACByAxd；（2）直线0:11CByAxl与直线0:22CByAxl的距离为2221BACCd．6、直线:0lAxByC同侧/异侧：（1）00000(0)(,)AxByCAPxy在直线:0(0)lAxByCA的右侧；00000(0)(,)AxByCAPxy在直线:0(0)lAxByCA的左侧．（2）点11(,)Mxy、22(,)Nxy在直线l同侧1122()()0AxByCAxByC；点11(,)Mxy、22(,)Nxy在直线l异侧1122()()0AxByCAxByC．7、点关于直线的对称问题：点),(00yxP直线x轴y轴xyxymxny对称点),(00yxP),(00yxP),(00xyP),(00xyP),2(00yxmP)2,(00ynxP自强不息厚德载物-4-补充：①点),(00yxP关于直线yxb的对称的点为00(,)Pybxb；②点),(00yxP关于直线yxb的对称的点为00(,)Pbybx；③点),(00yxP关于直线0AxByC的对称点(,)Pmn满足0000()()022AnyBmxmxnyABC．或者(,)Pmn，其中0002202,2mxADAxByCDnyBDAB．8、三线共点问题：三条互不平行的直线1111:0laxbyc，直线2222:0laxbyc，直线3333:0laxbyc共点的充要条件是1112223330abcabcabc．9、直线系方程：具有某一个共同性质的一簇直线称为直线系．（1）平行直线系：①斜率为0k（常数）的直线系：0ykxb（b为参数），例：bxy2；②平行于直线000yBxA的直线系：)(000为参数CCyBxA．（2）过已知点的直线系：①以斜率k作为参数的直线系：)(00xxkyy，直线过定点),(00yx；②以斜率k作为参数的直线系：0bkxy，直线过定点),0(0b．③过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系：)(0)(222111为参数CyBxACyBxA．注意：对于①②，过定点且平行于y轴或与y轴重合的直线不在直线系内；对于③，其中直线2l不在直线系内．10、定直线上动点与两定点距离和差问题：（1）定直线上动点与两定点距离和：问题已知定直线l上动点P，两个定点A、B，求PAPB的取值范围．A、B在l的取值范围解答步骤自强不息厚德载物-5-同侧,AB①作点A关于l的对称点A；②联结AB，交l于M；③点M为最小值状态点．异侧,AB①联结AB交l于M；②点M为最小值状态点．（2）定直线上动点与两定点距离差：问题已知定直线l上动点P，两个定点A、B，点A、B到l的距离分别为1d、2d，直线AB与直线l的夹角为，求PAPB的取值范围．A、B在l的1d与2d的大小关系取值范围解答步骤同侧12ddcos,ABAB①联结AB并延长交l于M；②点M为最大值状态点．12dd,ABAB/12dd,cosABAB①联结BA并延长交l于M；②点M为最小值状态点．异侧12ddcos,ABAB①作点A关于l的对称点A；②联结AB并延长交l于M；③点M为最大值状态点．12dd,ABAB/12dd,cosABAB①作点A关于l的对称点A；②联结BA并延长交l于M；2点M为最小值状态点．曲线的方程（一）曲线的方程概论1、轴对称的两个曲线：曲线0),(yxF对称轴x轴y轴xyxymxny曲线0),(yxF0),(yxF0),(xyF0),(xyF0),2(yxmF0)2,(ynxF自强不息厚德载物-6-补充：①曲线0),(yxF关于yxb对称的曲线方程为(,)0Fybxb；②曲线0),(yxF关于yxb对称的曲线方程为(,)0Fbybx．2、中心对称的两个曲线：曲线对称中心曲线0),(yxF),(nm0)2,2(ynxmF3、轴对称的曲线：曲线0),(yxF对称轴xyxymxny条件(,)(,)FyxFxy(,)(,)FyxFxy(2,)(,)FmxyFxy(,2)(,)FxnyFxy补充：①(,)(,)FaxyFbxy(,)0Fxy关于2abx对称。②(,)(,)FxayFxby(,)0Fxy关于2aby对称。③(,)(,)FaxyFaxy(,)0Fxy关于xa对称。④(,)(,)FxayFxay(,)0Fxy关于ya对称。⑤(,)(,)FxyFxy(,)0Fxy关于y轴，即0x对称。⑥(,)(,)FxyFxy(,)0Fxy关于x轴，即0y对称。4、中心对称的曲线：曲线0),(yxF对称轴(,)mn条件(2,2)(,)FmxnyFxy补充：①(,)(,)FaxcyFbxdy(,)0Fxy关于点,22abcd对称。自强不息厚德载物-7-②(,)(,)FaxyFbxy(,)0Fxy关于点,02ab对称。③(,)(,)FxcyFxdy(,)0Fxy关于点0,2cd对称。④(,)(,)FxyFxy(,)0Fxy关于点0,0对称。5、平移的规律：“左加右减，下加上减”．曲线向左平移k向右平移k向上平移h向下平移h备注0),(yxF0),(ykxF0),(ykxF0),(hyxF0),(hyxF0,hk平移向量(,0)k(,0)k(0,)h(0,)h6、伸缩的规律：“倍数与系数互为倒数”．曲线方程纵坐标不变，横坐标变为原来的倍横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍备注(,)0Fxy1(,)0Fxy1(,)0FxyA,0A7、翻折：曲线翻折后翻折过程0),(yxF0),(yxF将0),(yxF在y轴右边的图像不变，并将其翻折到y轴左边，并覆盖y轴左边原来的图像．0),(yxF将0),(yxF在x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边并覆盖x轴下边原来的图像．0),(yxF①将(,)0Fxy在y轴右边的图像不变，并将其翻折到y轴左边，并覆盖y轴左边原来的图像，变换为(,)0Fxy；②将(,)0Fxy在x轴上边的图像不变，并将其翻折到x轴下边，并覆盖x轴下边原来的图像，变换为(,)0Fxy．（二）圆的方程1、圆的方程：圆的方程形式圆心坐标半径标准方程222)()(rbyax),(bar自强不息厚德载物-8-一般方程022FEyDxyx)2,2(ED2422FED端点方程1212()()()()0xxxxyyyy其中AB为直径11(,)Axy、22(,)Bxy1212(,)22xxyy221212()()2xxyy2、圆的一般方程的判别式：判别式图像轨迹0422FED表示以点)2,2(ED为圆心坐标，以2422FED为圆的半径的圆．0422FED表示点)2,2(ED．0422FED不表示任何图形．3、判断点00(,)Mxy与圆222)()(rbyax的位置关系：点00(,)Mxy在圆外22200()()xaybr点00(,)Mxy在圆上22200()()xaybr点00(,)Mxy在圆内22200()()xaybr注意：圆的一般方程亦可使用上述结论．4、圆的切线的相关问题：（1）过圆222)()(rbyax上点),(00yx与圆相切直线方程：200))(())((rbybyaxax；（2）过圆022FEyDxyx上点),(00yx与圆相切直线方程：0000022xxyyxxyyDEF．（3）斜率为k且与圆222xyr相切的切线方程为21ykxrk；（4）斜率为k且与圆222)()(rbyax相切