分式及分式方程经典例题讲解

攻一道题克一类题八年级数学打造品牌教育-1-共铸美好明天分式与分式方程复习一.分式例1：要使分式x1有意义，x的取值满足（）A.x＝0B.x≠0C.x＞0D.x＜0【解析】分式有意义的条件是分母不为0，即x≠0。【答案】选：B．【点评】此题考查的是分式有意义的条件，属于基础题。例2：使代数式12xx有意义的x的取值范围是A.0xB.21xC.0x且21xD.一切实数【解析】要使原代数式有意义，需要x中的x0；分母中的2x-10.【答案】解不等式组0210xx得0x且21x，故选C．【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零；代数式中的二次根式的被开方数是非负数．例3：若分式12xx的值为0,则()A.x=-2B.x=0C.x=1或x=-2D.x=1【解析】若分式12xx的值为0,则需满足1020xx,解得x＝1,故选D.【答案】D.【点评】本题考查分式值为0时,x的取值.提醒注意:若使分式的值为0,需满足分子为零,同时分母不为零两个条件,缺一不可.分式的乘除例4：化简11122xx的结果是（）Ａ．12xＢ．122xＣ．12xＤ．12x【解析】根据分式除法法则，先变成乘法，再把分子、分母因式分解，约分，得到正确答案C【答案】C【点评】分式的混合你算是近些年中考重点考查的对象，特别是化简求值题，在教学中加以针对性训练。本题属于简单题型。攻一道题克一类题八年级数学打造品牌教育-2-共铸美好明天例5：先化简，后计算：，其中a＝－3．【解析】先将各分式的分子、分母分解因式，再进行分式乘除法混合运算，后代入计算．【答案】原式＝919)3(2)3()9)(9(2aaaaaa＝32a当33a时，原式＝332【点评】本题主要考察分式乘除法混合运算，注意解答的规范化，是基础题．例6：化简代数式xxx2122xx1，并判断当x满足不等式6)1(212xx时该代数式的符号.解析：先将分式化简，再解不等式组，在不等式的解集中选使分式有意义的数代入求值．答案：原式=xxx2122xx1=)2()1)(1(xxxx×1xx=21xx解不等组得：-3x＜-2在规定的范围内选取符合条件的x值即可（答案不唯一）点评：本题考察分式的化简求值，解不等式组结合同时选取使分式有意义的值.例7：下列计算错误的是()A．B．C．D．【解析】A．不正确．由分式的基本型分式的分子分母同时乘以10后应为：0.22100.7710abababab；B．正确，分式的分子分母同时约去最简公因式即可得出结论；Ｃ正确，互为相反数的商为－１,；Ｄ．正确，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．【答案】Ａ【点评】本题考查了分式的基本性质、约分和分式的加减．分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以同一个不为０的数或整式，分式的值不变．约分：约去分式中的分子或分母分式的值不变．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减．例8：化简111xx，可得（）A.xx21B.xx21C.xxx212D.xxx212【解析】先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．【答案】B【点评】分式的加减运算中，如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．yxyxyx3223babababa727.02.0ccc3211abba攻一道题克一类题八年级数学打造品牌教育-3-共铸美好明天例9：化简xxxx112的结果是（）A.x+1B.x-1C.—xD.x6.解析：本题是分式的加法运算，分式的加减，首先看分母是否相同，同分母的分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母的分式加减．解答：解：xxxxxxxxxxx1)1(11122故选D．点评：分式的一些知识可以类比着分数的知识学习，分式的基本性质是关键，掌握了分式的基本性质，可以利用它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最简分式．例10：计算：xxx52552.【解析】根据分式的加减法法则计算即可．【答案】2225255)(5)=55555xxxxxxxxx（，答案为：x+5【点评】本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．例11：化简：22()224mmmmmm=。【解析】把括号里的分式通分化为同分母分式的运算，再把除法变为乘法，为了便于约分，能分解因式的要先分解因式.22()224mmmmmm=22(2)(2)4(2)(2)mmmmmmmm=26mmm=m-6.【答案】m-6.【点评】本题考查了分式的运算.先把括号里的分式通分并运算，把除法变成乘法.分式运算的一般步骤是：先计算乘方，再计算乘除，后计算加减，有括号内的先计算括号内的，同级运算自左向右依次运算.例12：计算：4412a2aa.解析：4412a24a=4444222aaa2aa=22)2)(2(2aaaaaaa.答案：2aa.点评:本题是一道分式的化简计算，运算顺序，先算括号，再算乘除，最后算加减.攻一道题克一类题八年级数学打造品牌教育-4-共铸美好明天例13：已知三个数x，y，z满足xyxy＝－2，yzyz＝43，zxzx＝－43．则xyzxyyzzx的值为.【解析】由xyxy＝－2，得xyxy＝－12，裂项得1y＋1x＝－12．同理1z＋1y＝43，1x＋1z＝－43．所以，1y＋1x＋1z＋1y＋1x＋1z＝－12＋43－43＝－12，1z＋1x＋1y＝－14．于是xyyzzxxyz＝1z＋1x＋1y＝－14，所以xyzxyyzzx＝－4．【答案】－4【点评】此题取材于八年级数学教师用书分式全章后的拓展资源，具有一定的难度，属于技能考查．学生要想顺利解答此题，必须熟练掌握分式中的反比、裂项这两种变形技巧．例14：化简：12)1111(2xxx【分析】把括号里的分式通分并进行分式的加减运算，再把分式的除法转变成乘法运算，然后约分即可【解析】（1）解：原式=21)1111(2xxx=1112xxx212x=-1【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式运算顺序是做此题的关键。分式的混合运算在考试中很容易出现错误，原因可能是分式运算顺序不清楚，可能是没有注意运算技巧、也可能是运算时没有注意符号变换等。例15：化简（1+1m）÷22121mmm【解析】首先把括号里因式进行通分，然后把除法运算转化成乘法运算，分母是多项式的要先因式分解，进行约分化简，【答案】原式=21(1)(1)(1)mmmmm1mm【点评】本题主要考查分式的化简，注意除法要统一为乘法运算；以及符号的处理等。例16：化简：22(1)baabab解析：本题中的1可以看成分母为1的“分式”，运算时要注意运算顺序，先算括号里面的。答案：原式=abababbaba=ababaaba=ab点评：分式运算的结果要化成最简分式或整式，分式约分前要先分解因式。攻一道题克一类题八年级数学打造品牌教育-5-共铸美好明天例17：计算代数式acbcabab的值，其中1a，2b，3c．【解析】一看是同分母的分式相加减，得到babcac，分子再提一个公因式c得到bacba)(约分之后得到结果是：c，把3c代入得到原式=3。【答案】．解：babcbaac=babcac=bacba)(=c当1a、2b、3c时，原式=3(直接代入计算正确给满分)【点评】本题考查考生对于同分母分式的减法，提公因式并约分的应用，形式简洁，而又能考查多个知识点，很有代表性的一题。例18：计算：a2-4a+2+a+2【解析】首先把分子分解因式，再约分，合并同类项即可．【答案】原式=（a+2）(a-2)a+2+a+2=a-2+a-2=2a【点评】此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握计算方法，做题时先注意观察，找准方法再计算．例19：先化简2111xxx，再选取一个你喜欢的数代入求值.【解析】先首先通分，化简成同分母分式加法运算，然后根据分式的性质进行约分化简，最后代值计算．【答案】解：2211111xxxxx＝＝x＋1代入求值(除x=1外的任何实数都可以)【点评】本题考查了分式的化简求值．关键是利用分式的加减法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后进行约分，将分式化简，代值计算．代值时，注意x的取值不能使原式的分母为0．例20：计算：2111aaaa解析：对于分式的加法运算，对于能化简的分式，一般要先化简，后在进行计算。答案：原式=2-11-+-1+1+=+===1+1(+1)(-1)(+1)(+1)(+1)(-1)(+1)aaaaaaaaaaaaaaa攻一道题克一类题八年级数学打造品牌教育-6-共铸美好明天点评：本题考查了分式的加、减运算。一般可先通分，再加减，最后化为最简分式即可；但对于有些可以化简的项，先化简再通分运算，可以简化计算。例21：化简xxxx112的结果是（）A.x+1B.x-1C.—xD.x解析：本题是分式的加法运算，分式的加减，首先看分母是否相同，同分母的分式加减，分母不变，分子相加减，如果分母不同，先通分，后加减，本题分母互为相反数，可以化成同分母的分式加减．解答：解：xxxxxxxxxxx1)1(11122故选D．点评：分式的一些知识可以类比着分数的知识学习，分式的基本性质是关键，掌握了分式的基本性质，可以利用它进行通分、约分，在进行分式运算时根据法则，一定要将结果化成最简分式．例22：先化简2111xxx，再选取一个你喜欢的数代入求值.【解析】先首先通分，化简成同分母分式加法运算，然后根据分式的性质进行约分化简，最后代值计算．【答案】解：2211111xxxxx＝＝x＋1代入求值(除x=1外的任何实数都可以)【点评】本题考查了分式的化简求值．关键是利用分式的加减法则，同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，最后进行约分，将分式化简，代值计算．代值时，注意x的取值不能使原式的分母为0．例23：计算：2111aaaa解析：对于分式的加法运算，对于能化简的分式，一般要先化简，后在进行计算。答案：原式=2-11-+-1+1+=+===1+1(+1)(-1)(+1)(+1)(+1)(-1)(+1)aaaaaaaaaaaaaaa点评：本题考查了分式的加、减运算。一般可先通分，再加减，最后化为最简分式即可；但对于有些可以化简的项，先化简再通分运算，可以简化计算。二．分式的混合运算例1：1－aaaaa21122．【解析】将分式的分子、分母因式分解，除法化为乘法，约分，再计算，所以，原式=1-1(2)(1)(1)aaaaaa=11a【答案】11a【点评】本题综合考查了异分母分式的减法、除法及运用公式法进行分解因式等知识．攻一道题克一类题八年级数学打造品牌教育-7-共铸美好明天例2：化简2-a2-a41a）（的结果是（）A.aa2B.2aaC.aa2-D.2-aa【解析】除法变乘法，应用分配律得，2-aa)2-a4(1=a2-a)2-a4(1=a2-a1a2-a2-a4=a2a.【答案】选A.【点评】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键，属于基础题．例3：已知：115ab（a≠b），求()()abbabaab的值。【解析】分