离散数学期末考试及答案

1沈阳师范大学离散考试预测题一、选择题（共10题，每题3分，共30分）1、下列语句为命题的是（）。A．勿踏草地；。B．你去图书馆吗？；C．月球上有水；D．本命题为假。2．下列推理中，（）是错误的。A.如果x是有理数，则它为整数。1/2是有理数。所以1/2是整数。B.若周末气温超过30度，小红就去游泳。小红周末没去游泳。所以周末气温没超过30度。C.下午小明或者去看电影，或者去打篮球。下午小明没去打篮球。因此下午小明去看电影了。D.若a能被4整除，则a能被2整除。a能被2整除。因此a能被4整除。3．谓词公式)())()((xQyyRxPx中的x()。A．只是约束变元B．只是自由变元C．既非约束变元又非自由变元D．既是约束变元又是自由变元4.下列关系中，（）不是等价关系。A.非空集合的幂集的元素间包含关系；B.集合之间的等势关系；C.公式之间的等值关系；D.图之间的同构关系。5.下面等值式中，（）是不正确的。A.)()())()((xxBxxAxBxAxB.)()())()((xxBxxAxBxAxC.BxxABxAx)())((D.)())((xxBAxBAx6．下列关于集合的势的叙述中，（）是错误的。A.实数集比自然数集优势；B.任一无限集合都存在与自己等势的真子集；C.集合之间的优势关系是偏序关系；D.有理数集比整数集优势。7．设A,B,C是集合，F是关系，ADBAG,:，则下列式子中不正确的是（）。A．BBABAB.DDGG))((1C.][][][BFAFBAFD.)()(CBACBA28.以下序列中，（）是简单可图的。A.(4,4,3,3,2,2)；B.(3,3,3,1)；C.(5,4,3,2,2)；D.(6,6,3,2,2,2,1)。9.下列叙述中错误的是()。A．n(n≥2)阶竞赛图都具有哈密顿通路；B．非平凡树不是欧拉图，也不是哈密顿图；C．n(n≥3且为奇数)阶的二部图一定不是哈密顿图；D．欧拉回路包含图的所有顶点，哈密顿回路包含图的所有边。10．下列关于图的连通性的叙述中正确的是()。A.有向图是连通的是指它是强连通的；B.任一无向图的点连通度都不超过它的边连通度；C.在一n阶圈Cn(n≥4)上任意去掉两个顶点得到得图都有2个连通分支；D.n阶无向完全图的点连通度为n；二、填空题（共8题，每题3分，共24分）1．令F(x)：x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y)：x比y快。则命题“不存在比所有火车都快的汽车”符号化形式为___))),()((()((yxHyGyxFx______________。2．公式rqp)(的主析取范式为_______731mmm_______。3．集合A={a,b,c,d}上的等价关系共有___15___个。4．自对偶图的顶点数n和边数m之间满足关系式为m=_______m=2n-2________。5．设T是有t片树叶的2叉正则树，则T应该有_______个顶点。6．P({Φ,{Φ}})=_{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{{Φ}}}____。7．在1到100之间（包含1和100）即不能被2，也不能被3，还不能被5整除的自然数有_______个。8．“p仅当q”，“只有q才p”，“除非q才p”这三个命题的符号化分别为___qpqpqp,,__,____和_____。（请按顺序填写）三、应用、计算和证明题（共6题，46分）1．(6分)在命题逻辑的自然推理系统中构造下面推理的证明。前提：┒(P∧┒Q)，┒Q∨R，┒R结论：┒P2．（8分）设集合A={a，b，c，d}，A上的关系R={a，a,a，b,b，a,c，d,b，c}求：（1）画出R的关系图。(2分)（2）R的自反闭包、对称闭包和传递闭包的关系图。（2分，2分和2分）33．（8分）设A,R为一偏序集，其中A={1，2，…，12}，R是A上的整除关系。（1）画出A,R的哈斯图；（4分）（2）求A的所有极大元和极小元（2分）（3）求B={2,3,6}的最小上界和最大下界（2分）。4.（8分）判断左图是否为欧拉图，若是，请给出一欧拉回路（用阿拉伯数字在边上标明顺序即可）；若不是，请说明原因；（4分）判断右图是否为哈密顿图，若是，请给出一哈密顿回路（用阿拉伯数字在顶点上标明顺序即可）；若不是，请说明原因（4分）；5．（8分）设G是无向简单图且δ(G)≥k≥2，试证明G中存在长度大于等于k+1的初级回路（圈）。6．（8分）在一棵有3个2度顶点，2个4度顶点，其余顶点都是树叶的无向树中，应该有几片树叶？（2分）请画出所有这样的非同构的无向树。（6分）4答案及评分标准一选择题CDDACDCADD二1.))),()(()((yxHyGyxFx或者))),()(()((yxHyGyxFx2.731mmm3.154.m=2n-25.2t-16.}}}{,{}},{{},{,{7.268.qpqpqp,,(该小题每空1分)三1（1）RQ前提引入（2）R前提引入（3）Q（1）（2）析取三段论（4）)(QP前提引入（5）QP置换(6)P(3)(5)析取三段论若未注明推理规则,或标注有错,扣1分.2（1）如图1（2）AAIcbdcabbaaaIRRRRr},,,,,,,,,{)(0},,,,,,,,,,,,,{)(1bccdcbdcabbaaaRRRs},,,,,,,,,,,,,,,,{)(2cbdcabdbbbdacabaaaRRRt该题要求画出三个闭包的关系图.每个关系图2分,共6分.边少画或多画一律判错.53(1)如图2（2）A的极大元有：7，8，9，10，11，12A的极小元有：1（3）B的上界是{6,12},最小上界是6B的下界是1，最小下界是1哈斯图中若出现水平的边,扣1分.4．（８分）（１）判断下图是否为欧拉图，若是，请给出一欧拉回路（用阿拉伯数字在边上标明顺序即可）；若不是，请说明原因；（4分）答：因为该图是连通图且图中没有奇度顶点，所以该图是欧拉图(只要判断正确给2分)。欧拉回路标序如下图：找的欧拉回路正确再2分（2）判断下图是否为哈密顿图，若是，请给出一哈密顿回路（用阿拉伯数字在顶点上标明顺序即可）；若不是，请说明原因（4分）答：该图不是哈密顿图(2分)。取Ｖ＝｛４，６，８｝，从图中删除Ｖ，得五个连通分支，如下图所示，所以该图不是哈密顿图。(2分)另一证明:反证若有哈密顿圈,由于点5,7,9都是二度点,因此该哈密顿圈必包含边(4,5)(5,6)(6,7)(7,8)(8,9)(9,4),这6条边构成一个圈,矛盾.２３４５６７９10111213314１８6５．（8分）设G是无向简单图且δ(G)≥k≥2，试证明G中存在长度大于等于k+1的初级回路（圈）。证明：不妨设Ｇ是连通图，若G不连通，因为Ｇ的各连通分支的最小度也都大等于k，因而可对它的某个连通分支进行讨论。设u,v为G中任意两个顶点，由G是连通图，因而u,v之间存在路径，用“扩大路径法”扩大这条路径，设最后得到的“极大路径”为Γt=v0v1…vt,则t≥k，事实上若存在“极大路径”Γs=v0v1…vs且sk，则v0只能与Γs中的顶点相邻，因为G为简单图，所以与v0相邻的顶点最多为s个，而sk，这与δ(G)≥k矛盾，所以“极大路径”长度大等于k。在Γt上构造圈，由于δ(v0)≥δ(G)≥k≥2，因而v0除与Γt上的v1相邻外，还存在Γt上的k-1个顶点121121,,,(1)kiiikvvviiit与v0相邻，则121010......kiiivvvvvv为一个圈且长度大等于k+1。注意:也可直接设Γ是G的最长路径.６．（8分）在一棵有3个2度顶点，2个4度顶点，其余顶点都是树叶的无向树中，应该有几片树叶？（2分）请画出所有这样的非同构的无向树。（6分）答：设树叶有x片，则边数m=3+2+x-1=4+x，由握手定理知，2m=2*(4+x)=∑d(vi)=3*2+2*4+x解得x=6，所以应该有６片树叶。共有十个非同构的无向树，如下：(1)两个４度点相邻的情况：５７９10４５６７８９10１３２１３２7(2)两个４度点中间有一个２度点的情况：8(3)两个４度点中间有两个２度点的情况：(4)两个４度点中间有三个２度点的情况：(请酌情扣分)