有限元第三章杆系结构单元分析

有限单元法第3章杆系结构的有限元分析有限单元法3-1引言所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。为方便起见，本书都称之为杆单元。杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常见的一类结构。本章以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。有限单元法建筑物简化为杆件的建模过程有限单元法杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散成杆元和梁元。○○○○○○○○○梁拱框架○○○○○桁架有限单元法第一步，对结构物进行离散化，划分为有限个单元。第二步，对各结点和单元进行编码。第三步，建立整体坐标系和各单元的局部坐标系。第四步，对已知参数进行准备和整理。第五步，对结点位移进行编码，注意前处理法与后处理法的区别。第六步，进行单元分析，形成单元刚度矩阵。3-1-1关于离散化问题第七步，进行整体分析，形成整体刚度矩阵。第八步，引入边界条件。边界条件的引入可以使问题具有解的唯一性。第九步，求解方程组，计算结构的整体结点位移。第十步，求单元内力，对计算成果进行整理、分析，用表格、图示出所需的位移及应力。第四章有限单元法取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节点编号时力求单元两端点号差最小。有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并且拒不坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同。XY○○○○○Pxy大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号，以及整体坐标和局部坐标。局部坐标整体坐标有限单元法12345612345图2.1弯曲杆件系统图2.2截面连续变化杆件系统有限单元法3123(000)(001)(234)4(567)6(111213)5(8910)65421(123)2(456)(789)4(101112)6(161718)5(131415)31365421图3.2单元位移编码前处理法后处理法结点编号位移编号单元编号有限单元法3-1-2杆系结构虚位移原理及虚功方程设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移原理虚功方程，则整个杆系结构的虚功方程可由对各杆求和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向量）：局部坐标单元杆端力矩阵e123456FFFFFFFFFＴＴＴＴ１2　　　　　　　(3-1)局部坐标单元杆端虚位移矩阵11TTδＴＴｅ２３４５６２　　　　　　(3-2)有限单元法,,,EIAlｙ1F2F3F4F5F6F122F1Fx12yuvxkkx（a）杆端力及正向规定（d）单元虚位移及正向规定ｙ112x2345612（b）杆端虚位移及正向规定图3-3平面杆件单元12()qxPniP1Py()mx()px（c）单元荷载及正向规定有限单元法单元上分布均布荷载矩阵qＴ=p(x)q(x)m(x)单元上局部坐标下任意截面的虚位移矩阵(3-3)dvuvuvdxδＴ　　　　(3-4)u，ｖ，的正负号规定如图3-3(d)所示，分别为轴向、横向虚位移和转角虚位移。有限单元法（3-5）u、ｖ在单元局部坐标任意截面虚位移为的情况下，单元虚位移所产生的微段的虚变形为：dudx22dvkdx虚线应变虚曲率（3-6）dx若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为，()()uxvx、则由材料力学可得与位移对应的截面内力为uNdFEAdx22dvMEIdx（3-7）（3-8）式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。有限单元法在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元，则单元的虚功方程为外力总虚功e01()nleTeTepiiiWFFxxvdxδqd（3-9a）其中piF为单元上所受的横向集中力（规定沿坐标正向为正）。总虚变形功e0keiWWMdxlN变Feeeei变（3-9b）（3-9c）式（3-9a）中()ixx为单位脉冲函数（unitimpulsefunction）,如图3-4所示。由图可见，若有函数f(x)，则积分i00f(x)(x-x)()0()()0()iiiilxxlixxdxfxdxfxdxfxdxfx(3-10)如图3-4()idxxixdxx趋于O1面积为有限单元法01()nlpiiiFxxvdx根据式（3-10），则式（3-9a）中可写作011()()nnlpiipiiiiFxxvdxFvx对于整个杆系结构来说，显然总虚变形功iWW变等于各单元总虚变形功的和，也即ei变变(3-11)而整个结构的外力功应该是lee011()nnTjpiipdiiWWdxFvxFjqde结点荷载总虚功（3-12）有限单元法基于上述说明，则杆系结构虚位移原理的虚功方程为e0011leNinnlTjpiipdjijqδ变变ｅ　　　（3-13）有限单元法3-1-3杆系结构总势能表达式有关符号同上所述，由材料力学可知e单元的应变能eV在只考虑轴向和弯曲变形时为222222001122lledvduVEIdxEAdxdxdx（3-14）单元外力的总势能为*epE*0leTeTeppiiiEdxvxqdFFδ（3-15）式中11,TTduudxdδδδＴＴＴＴｅ２３４５６２ｖ　ｖ　　ｖ　　　　　　　　为单元杆端位移矩阵。因此单元的总势能表达式为222e*200011122nllleeTeTepppiiidvduEVEEIdxEAdxdxnFvxdxdxqdFδ（3-16）有限单元法对于整个结构还要考虑结点的总外力势能。为此，由图3-5任一节点的受力情况可见，整个结构的结点总外力势能为*,12jTeiekpdipijkEFFFδ结点（3-17）1F①2F②ixFiyFiMTipdixiiFFMF　　ｙ　　ipd12iFFF①②总结点力图3-5结点受力示意图有限单元法由此可得结构的总势能为*p,22,20001122epplllTTpiipdjjijEEEdvduEIdxEAdxdxFvxdxdxqdFδ结点　＝（3-18）累加时所出现的切割面内力总功互相抵消，因此在式（3-18）中不再出现。有限单元法3-2局部坐标系中的杆单元分析3-2-1拉压杆单元,jjFu图3-6拉压杆单元示意图设杆单元长度为，横截面面积为，单元材料的弹性模量为，在局部坐标系中杆端荷载分别为和，杆端位移分别为和，单元上的轴向分布荷载为。lAEiFjFiuju()qx,iiFueyx()qxx有限单元法①单元位移模式。用结点位移表示单元上任意截面的位移。对拉压杆单元，可以取其位移为一次多项式，即：由位移的边界条件：可得系数、为：这样，任意截面的位移为：用矩阵表示为：u()uxabx(0)iuu()juluabiaujiuubl()(1)ijxxuxuulliiijjijjuuNuNuNNuNδe1ixNljxNl（3-19b）（3-19c）（3-19a）其中1ijNN（3-20）有限单元法②进行应力、应变分析。根据材料力学中应变的定义，有：这里为应变矩阵。由虎克定律，其应力为：11ijdudBBdxdxlleeeeNδδδBδ11llBEEeBδ（3-22）（3-21）有限单元法③求单元刚度矩阵。这里考虑利用虚位移原理求单元刚度矩阵,设杆端i、j分别产生虚位移、，则由此引起的杆轴任意截面的虚位移为：对应的虚应变为：根据虚位移原理虚功方程，有：将上式整理得：iujuTiiuuuNNδeBδe000()lTdllTTWqxdxWAdxEAdx外变FδNδδBBδeeeee00()TllTTTdqxdxEAdxeeeeFNδδBBδ（3-23）（3-24）有限单元法式中：为局部坐标系下单元结点荷载矩阵。设：则可以得到拉压杆单元的单元刚度方程为：这里为局部坐标系下的单元刚度矩阵，为局部坐标系下等效结点荷载矩阵，但值得指出的是：分布荷载中可以包含集中荷载。根据定义，可以进一步求得单元刚度矩阵为：TdijFFFe0()lTEqxdxFNe0lTEAdxkBBedEFFkδeeeekeeEF()qx1111EAlke（3-26b）（3-25a）（3-25b）（3-26a）有限单元法例：一维拉杆图示阶梯形直杆，各段长度均为，横截面积分别为3A，2A，A，材料重度为γ，弹性模量E。求结点位移和各段杆中内力。有限单元法离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。单元刚度矩阵：2111113][)1(lAEk123211112][)2(lAEk23431111][)3(lAEk341111][lEAke有限单元法等效结点荷载：按静力等效原则，有:1123][)1(lAF1122][)2(lAF112][)3(lAF对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程:}{}]{[FK设结点1的约束反力为F1，则有:有限单元法整体结构平衡方程lAlAlAlAFuuuulEA21)2122()2223(2311001122002233003314321划去节点1所对应的第1行、行1列。有限单元法解得结点位移Eluuu21351101320252432EluEluElu24232281981587单元应力单元应变EAN单元应变：luuijElluuElluuElluu234)3(223)2(212)1(2187有限单元法3-2-2扭转杆单元m(x)MiMjyxijji图2.4扭转杆单元示意图设扭转杆单元的长度为，截面惯性矩为，剪切模量为，杆端扭矩分别为、，杆端扭转角分别为、，单元上的分布荷载集度为，则任意截面的扭转角为：lIGiMjMij()mx(1)ijxxllNδe（3-27）y有限单元法式中：为局部坐标系下扭转杆单元的结点位移矩阵。由材料力学可知，截面扭矩为：式中：我们利用极小势能原理来进行单元分析，杆单元的势能用泛函表示为：TijδedMGIGIdxBδe11ddxllNB00001()()21(())2llTTpdllTTTddMdxmxdxdxGIdxmxdxeeeeeeFδδBBδNFδ有限单元法这里为