等差数列及其前n项和习题与答案

-1-第六章第二节1．{an}为等差数列，a10＝33，a2＝1，Sn为数列{an}的前n项和，则S20－2S10等于()A．40B．200C．400D．20解析：选CS20－2S10＝20a1＋a202－2×10a1＋a102＝10(a20－a10)＝100d.又a10＝a2＋8d，∴33＝1＋8d.∴d＝4.∴S20－2S10＝400.故选C.2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()A.12B．1C．2D．3解析：选C因为Sn＝na1＋an2，所以Snn＝a1＋an2.由S33－S22＝1，得a32－a22＝1，即a3－a2＝2，所以数列{an}的公差为2.故选C.3．(2014·临川一中质检)已知数列{an}，{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1＋b1＝5，a1，b1∈N*.设cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和等于()A．55B．70C．85D．100解析：选C由题知a1＋b1＝5，a1，b1∈N*.设cn＝abn(n∈N*)，则数列{cn}的前10项和等于ab1＋ab2＋…＋ab10＝ab1＋ab1＋1＋…＋ab1＋9，ab1＝a1＋(b1－1)＝4，∴ab1＋ab1＋1＋…＋ab1＋9＝4＋5＋6＋…＋13＝85，选C.4．(2014·中原名校联盟摸底考试)若数列{an}通项为an＝an，则“数列{an}为递增数列”的一个充分不必要条件是()A．a≥0B．a＞1C．a＞0D．a＜0解析：选B数列{an}为递增数列，则a＞0，反之a＞0，则数列{an}为递增数列，a＞0是数列{an}为递增数列的充要条件，“数列{an}为递增数列的一个充分不必要条件是a的范围比a＞0小，即包含于a＞0中，故选B.5．(2012·浙江高考)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()-2-A．若d0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn0D．若对任意n∈N*，均有Sn0，则数列{Sn}是递增数列解析：选C设数列{an}的首项为a1，则Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋a1－d2n.由二次函数性质知Sn有最大值时，则d0，故A、B正确；因为{Sn}为递增数列，但d0，不妨设a1＝－1，d＝2，显然{Sn}是递增数列，但S1＝－10，故C错误；对任意n∈N*，Sn均大于0时，a10，d0，{Sn}必是递增数列，D正确．6．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有SnTn＝2n－34n－3，则a9b5＋b7＋a3b8＋b4的值为()A.1941B.45C.2743D.2431解析：选A∵{an}，{bn}为等差数列，∴a9b5＋b7＋a3b8＋b4＝a92b6＋a32b6＝a9＋a32b6＝a6b6.∵S11T11＝112a1＋a11112b1＋b11＝2a62b6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a6b6＝1941.故选A.7．(2011·广东高考)等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.解析：10由题意S9＝S4得a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0.∴5a7＝0，即a7＝0.又ak＋a4＝0＝2a7，a10＋a4＝2a7，∴k＝10.8．(2014·阜宁中学调研)在等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和S5＝________.解析：90在等差数列{an}中，由a2＝6，a5＝15易知公差d＝15－63＝3，∴an＝a2＋(n－2)d＝3n，∴bn＝a2n＝6n，所以数列{bn}为公差为6的等差数列，所以前5项和S5＝52(b1＋b5)，-3-又易知b1＝6，b5＝30，所以S5＝90.9．(2014·江苏调研)对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的差数列．若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.解析：2n＋1－2由已知an＋1－an＝2n，a1＝2得a2－a1＝2,0＝22，…，an－an－1＝2n－1，由累加法得an＝2＋2＋22＋…＋2n－1＝2n，从而Sn＝21－2n1－2＝2n＋1－2.10．(2014·哈尔滨联考)已知各项为正数的等差数列{an}的前20项和为100，那么a7a14的最大值为________．解析：25因为{an}为各项为正数的等差数列，且前20项和为100，所以20a1＋a202＝100，即a1＋a20＝10，所以a7＋a14＝10.所以a7·a14≤a7＋a1422＝25，当且仅当a7＝a14＝5时等号成立．11．(2013·新课标全国高考Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.解：(1)设{an}的公差为d.由题意得a211＝a1a13，即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)．于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝－2或d＝0(舍去)．故an＝－2n＋27.(2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31，所以数列{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而Sn＝n2(a1＋a3n－2)＝n2(－6n＋56)＝－3n2＋28n.12．(2014·黑龙江联考)已知各项都不相等的等差数列{an}的前6项和为60，且a6为a1和a21的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an(n∈N*)，且b1＝3，求数列1bn的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，-4-则6a1＋15d＝60，a1a1＋20d＝a1＋5d2，解得d＝2，a1＝5.∴an＝2n＋3.(2)由bn＋1－bn＝an，得bn－bn－1＝an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝an－1＋an－2＋…＋a1＋b1＝(n－1)(n－1＋4)＋3＝n(n＋2)，∴bn＝n(n＋2)，n∈N*.∴1bn＝1nn＋2＝121n－1n＋2.∴Tn＝121－13＋12－14＋…＋1n－1n＋2＝1232－1n＋1－1n＋2＝3n2＋5n4n＋1n＋2.13．(2014·济宁模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝－an－12n－1＋2(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝2n·an.(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设cn＝log2nan，数列2cncn＋2的前n项和为Tn，求满足Tn2521(n∈N*)的n的最大值．(1)证明：在Sn＝－an－12n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，得a1＝12.当n≥2时，Sn－1＝－an－1－12n－2＋2，∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋12n－1，即2an＝an－1＋12n－1.∴2n·an＝2n－1·an－1＋1.∵bn＝2n·an，∴bn＝bn－1＋1.又b1＝2a1＝1，∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．于是bn＝1＋(n－1)·1＝n，∴an＝n2n.(2)解∵cn＝log2nan＝log22n＝n.∴2cncn＋2＝2nn＋2＝1n－1n＋2.-5-∴Tn＝1－13＋12－14＋…＋1n－1n＋2＝1＋12－1n＋1－1n＋2.由Tn＜2521，得1＋12－1n＋1－1n＋22521，即1n＋1＋1n＋21342，f(n)＝1n＋1＋1n＋2单调递减，∵f(3)＝920，f(4)＝1130，f(5)＝1342，∴n的最大值为4.1.(2014·石家庄模拟)已知数列{an}(n∈N*)中，a1＝35，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝1an－1(n∈N*)，则关于数列{bn}的判断正确的是()A．数列{bn}一定是等差数列B．数列{bn}一定是等比数列C．数列{bn}可以是等差数列，也可以是等比数列D．数列{bn}既不是等差数列，也不是等比数列解析：选A因为an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1，所以当n≥2时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1＝12－1an－1－1－1an－1－1＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1，又b1＝1a1－1＝－52，所以数列{bn}是以－52为首项，1为公差的等差数列，选A.2．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4000，O为坐标原点，点P(1，an)，Q(2011，a2011)，则OP→·OQ→等于()A．2011B．－2011C．0D．1解析：选A方法一：由已知S21＝S4000，则a22＋a23＋…＋a4000＝0，设数列{an}的公差为d，则3979a22＋a40002＝0，又a22＋a4000＝2a2011，所以a2011＝0，∴OP→·OQ→＝2011＋an·a2011＝2011方法二：设等差数列{an}的公差为d，因为S21＝S4000，且等差数列前n项和公式可看成二次函数，所以由对称性可得S1＝S4020，则有a1＝4020a1＋4020×40192d，整理得a2011＝0，所-6-以OP→·OQ→＝2011＋an·a2011＝2011.3．(2014·孝感高中调研)已知函数f(x)是R上的单调递增函数且为奇函数，数列{an}是等差数列，a3＞0，则f(a1)＋f(a3)＋f(a5)的值()A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0D．可以为正数也可以为负数解析：选A因为函数f(x)是R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)得f(0)＝0，又f(x)是R上的单调递增函数，所以当x＞0时有f(x)＞f(0)＝0，当x＜0时有f(x)＜f(0)＝0，因为a3＞0，所以有f(a3)＞0.因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a52＝a3＞0从而a1＋a5＞0，所以a1＞－a5，所以f(a1)＞f(－a5)．又f(－a5)＝－f(a5)，所以f(a1)＋f(a5)＞0，从而有f(a1)＋f(a3)＋f(a5)＝[f(a1)＋f(a5)]＋f(a3)＞0.故选A.4．(2014·西北工大附中月考)若有穷数列a1，a2，…，an(n是正整数)满足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整数，且1≤i≤n)，就称该数列为“对称数列”．已知数列{bn}是项数为7的“对称数列”，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1＝2，b4＝11，则数列{bn}的项为________．解析：2,5,8,11,8,5,2设数列b1，b2，b3，b4的公差为d，则b4＝b1＋3d＝2＋3d＝11，解得d＝3，所以数列{bn}的项为2,5,8,11,8,5,2.5．(2014·湛江检测)已知各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n有a2an＝S2＋Sn.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列log88a1an的前n项和为Tn，求Tn的最大值．解：(1)取n＝1，a2a1＝S2＋S1＝2a1＋a2，①取n＝2，a22＝2a1＋2a2，②②－①得，a2(a2－a1)＝a2，a20，∴a2－a1＝1，③由①③组成方程组解得，a1＝1＋2或a1＝1－2.∵an0，∴a1＝1－2不合题意，舍去．∴a1＝1＋2.(2)由(1)可得a2＝2＋2，当n≥2时，(2＋2)an＝S2＋Sn，(2＋2)an