20180318三角函数专题讲义

超级名师工作室1任意角三角比复习专题一、终边相同的角：1、角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。2、①与角终边相同的角的集合：},360|{Zkk与角终边在同一条直线上的角的集合：；与角终边关于x轴对称的角的集合：；与角终边关于y轴对称的角的集合：；与角终边关于xy轴对称的角的集合：；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合：；终边在一、三象限的平分线上角的集合：；终边在二、四象限的平分线上角的集合：；终边在四个象限的平分线上角的集合：；3、象限角：第一象限角：；第三象限角：；第一、三象限角：；4、正确理解角：“oo90~0间的角”=；“第一象限的角”=；“锐角”=；“小于o90的角”=；例1、已知0°θ360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.例2、已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，下列四个命题：①A=B=C②AC③CA④A∩C=B,其中正确的命题个数为；例3、若角α是第三象限角，则2角的终边在，2α角的终边在.超级名师工作室2二、弧度制1、弧度与角度的互化：2、弧长公式：；扇形面积公式：；例4、圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的倍.例5、已知扇形的周长为20cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？例6、如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.三、任意角的三角函数：1、任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，角的终边与单位圆的交点为),(yxP，则sin；cos；tan定义拓展：在角的终边上任取一个异于原点的点),(yxP，点P到原点的距离记为r，则sin；cos；tan；2、各象限角的各种三角函数值正负符号：一全二正弦,三切四余弦sincostan超级名师工作室3例7、角的终边上一点)3,(aa，则sin2cos。例8、试写出所有终边在直线xy3上的角的集合并指出上述集合中-1800~1800之间的角.例9、sin2cos3tan4的值（）(A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)不确定例10、在△ABC中,若cosAcosBcosC0，则△ABC是（）(A)锐角(B)直角(C)钝角(D)锐角或钝角例11、若sinθ·cosθ＞0,则θ是第象限的角;2、在单位圆中画出角的正弦线、余弦线、正切线；例12、比较)2,0(x，xsin，xtan，x的大小关系：。四、同角三角函数的关系与诱导公式：1、同角三角函数的关系：平方关系是商式关系是例13、已知sinαcosα=81,且4α2，则cosα－sinα的值为例14、已知sincos2sin3cos=51,则tanα的值是xyOaxyOaxyOayOa超级名师工作室4例15、若tanθ=31,πθ32π,则sinθ·cosθ的值例16、若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=32,则为例17、已知tanα=2,则2sin2α－3sinαcosα－2cos2α=;例18、设是第二象限角,则2sin11cossin=例19、化简1cos1cos1cos1cos(α为第四象限角）=;例20、sinx=35mm,cosx=425mm,x∈(2,π),求tanx例21、已知关于x的方程22310xxm的两根为sin和cos：（1）求1sincos2sincos1sincos的值；（2）求m的值．超级名师工作室52、诱导公式：k2：，，；：，，；：，，；：，，；2：，，；2：，，；2：，，；23：，，；23：，，；诱导公式可用概括为：，。例22、已知sin(π+α)=45,且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是例23、tan(150)cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)=.化简212sin10cos10cos101cos170=.例24、sin2(3－x)+sin2(6+x)=.例25、是否存在角α、β，α∈(-2,2)，β∈(0,π)，使等式sin(3π-α)=2cos(2-β),3cos(-α)=—2cos(π+β)同时成立？若存在，求出α、β的值;若不存在，请说明理由.超级名师工作室6五、三角恒等变形1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴cos；⑵cos；⑶sin；⑷sin；⑸tan（变形：tantantan1tantan）；⑹tan（变形：tantantan1tantan）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin2；（变形：2sin1；2sin1）⑵cos2==（变形：2cos21cos2，21cos2sin2）；⑶22tantan21tan．3、化一公式：22sincossin，其中tan．例26、化简：440sin12=例27、已知tanα，tanβ是方程23340xx两根，且α，β)2,2(，则α+β等于()(A)32(B)32或3(C)3或32(D)3例28、sin163sin223sin253sin313()1()2A1()2B3()2C3()2D例29、求下列各式的值：⑴75tan175tan1;⑵tan17+tan28+tan17tan28超级名师工作室7例30、已知锐角,满足cos=53,cos(+)=135,求cos.例31、已知21)4tan(，（1）求tan的值；（2）求2cos1cos2sin2a的值奎屯新疆王新敞例32、已知∈2,0,∈,2且sin(+)=6533,cos=-135.求sin.例33、化简sin2·sin2+cos2cos2-21cos2·cos2.六、三角函数的图象和性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sinyxcosyxtanyx图象定义域RR,2xxkk值域1,11,1R最值当22xkk时，max1y；当22xkk时，min1y．当2xkk时，max1y；当2xkk时，min1y．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数函数性质超级名师工作室8单调性在2,222kkk上是增函数；在32,222kkk上是减函数．在2,2kkk上是增函数；在2,2kkk上是减函数．在,22kkk上是增函数．对称性对称中心,0kk对称轴2xkk对称中心,02kk对称轴xkk对称中心,02kk无对称轴2、三角函数的图像变换(1)先相位后周期：函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象．(2)先周期后相位：函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数sinyx的图象．3、函数sin0,0yx的性质：①振幅：；②周期：2；③频率：12f；④相位：x；⑤初相：．例34、对于函数y=sin(132π-x），下面说法中正确的是()(A)函数是周期为π的奇函数(B)函数是周期为π的偶函数(C)函数是周期为2π的奇函数(D)函数是周期为2π的偶函数例35、函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是例36、函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（）(A)4(B)8(C)2π(D)4π超级名师工作室9例37、.函数y=cosx的图象向左平移3个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为()(A)y=3cos(12x+3)(B)y=3cos(2x+3)(C)y=3cos(2x+23)(D)y=13cos(12x+6)例38、要得到函数)32cos(2xy的图像。可以由诱导公式先把它变成sin2y()然后由xysin的图像先向平移个单位，再把各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，最后把各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍,就可以得到)32cos(2xy的图像.例39、函数sin()(0,,)2yAxxR部分图象如图所示，则函数为（）A．)48sin(4xyB．)48sin(4xyC．)48sin(4xyD．)48sin(4xy例40、已知f(x)=5sinxcosx-35cos2x+325（x∈R）⑴求f(x)的最小正周期；⑵求f(x)单调区间；⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。例41、已知函数f(x)=cos32x+2sin4x·sin4x.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间2,12上的值域.超级名师工作室10七、解三角形1、内角和定理：三角形三角和为.（,sin()sin,sincos22ABCABCABC）2、正弦定理：2sinsinsinabcRABC(R为三角形外接圆的半径).注意正弦定理的一些变式：sinsinsiniabcABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2sin,2sin,2siniiiaRAbRBbRC；3、余弦定理：2222cos,abcbcA.222cos2bcaAbc4、三角形面积公式：111sin()222aSahabCrabc（其中r为三角形内切圆半径）.例42、（1）已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，求角B,C以及边c的值（2）ABC△中，0cossin,53sinCCC，5,3ba，求边c的长例43、在ABC中，若CBABA22222sinsincoscossin，判断ABC的形状例44、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a2=b(b+c).（1）求证：A=2B；（2）若a=3b,判断△ABC的形状.例45、在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-