第三章3.2-3.2.2函数模型的应用实例

第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.2函数模型的应用实例[学习目标]1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)．2.通过对数据的合理分析，能自己建立函数模型解决实际问题(重点、难点)．1．函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测．温馨提示利用函数模型解决实际应用题时，要抓住关键：选择和建立恰当的函数模型．2．应用函数模型解决问题的步骤(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模——求解数学模型，得出数学模型；(4)还原——将数学结论还原为实际问题．温馨提示用得到的函数进行拟合时，可能误差较大或不切合客观实际，因此要对所得函数模型进行检验，切忌盲目下结论．1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的．()(2)对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．()(3)根据收集到的数据作出散点图，结合已知的函数选择适当的函数模型，这样得到的函数模型的模拟效果较好．()解析：(1)错，对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，只是模拟效果有区别．(2)对，数据越多，模拟效果越好．(3)对，根据散点图选择函数模型，针对性较强，得到的函数模型模拟效果较好．答案：(1)×(2)√(3)√2．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售y与投放市场的月数x(1≤x≤4，x∈N*)之间关系的是()A．y＝100xB．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100x解析：对于A中的函数，当x＝3或4时，误差较大；对于B中的函数，当x＝3或4时，误差也较大；对于C中的函数，当x＝1，2，3时，误差为0，x＝4时，误差为10，误差较小；对于D中的函数，当x＝2，3，4时，据函数关系式得到的结果与实际值相差都很远．综上，只有C中的函数误差最小，故选C.答案：C3．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮这一天(0～24时)体温的变化情况的是()解析：从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D.答案：C4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么车与人之间的距离的最小值为______．解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝12t2，车与人之间的距离d＝(s＋25)－6t＝12t2－6t＋25＝12(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7.答案：75．某音像社对外出租光盘的收费方法是：每张光盘在租出以后的头两天每天收费0.8元，以后每天收费0.5元，那么一张光盘在租出后的第10天应收租金________元．解析：设第n(n∈N*)天收费y元，由题意得y＝0.8n，n≤2，1.6＋0.5（n－2），n≥3(n∈N*)，则当n＝10时，y＝1.6＋0.5×8＝5.6(元)．答案：5.6类型1图表信息迁移题(自主研析)[典例❶](1)某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是()A．310元B．300元C．290元D．280元(2)一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是()[自主研析](1)设函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，函数图象过点(1，800)，(2，1300)，则k＋b＝800，2k＋b＝1300，解得k＝500，b＝300，所以y＝500x＋300，当x＝0时，y＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元．(2)水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的．答案：(1)B(2)D归纳升华求解图表信息迁移题的一般方法：(1)明确横轴、纵轴的意义；(2)从图象形状上判断函数模型；(3)抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点(最小值点)及折线的拐角点等；(4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题．[变式训练]如图中折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：通话2分钟，需付电话费________元；通话5分钟，需付电话费________元；如果t≥3分钟，电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式是____________．解析：t＝2时，y＝3.6，t＝5时，y＝6.当t≥3时，设y＝kt＋b.将(3，3.6)，(5，6)代入得k＝1.2，b＝0，所以y＝1.2t(t≥3)．答案：3.66y＝1.2t(t≥3)类型2函数模型的选择[典例2]某汽车公司曾在2014年初公告：2014年销量目标定为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．已知2011年，某汽车年销量8万辆；2012年，某汽车年销量18万辆；2013年，某汽车年销量30万辆．如果我们分别将2011，2012，2013，2014年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b≠1，b0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？解：建立年销量y(万辆)与第x年的函数，可知函数图象必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)．(1)构造二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点的坐标代入，可得a＋b＋c＝8，4a＋2b＋c＝18，9a＋3b＋c＝30，解得a＝1，b＝7，c＝0.则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为4.7.(2)构造指数函数型g(x)＝a·bx＋c，将点的坐标代入，可得ab＋c＝8，ab2＋c＝18，ab3＋c＝30，解得a＝1253，b＝65，c＝－42.则g(x)＝1253·65x－42，故g(4)＝1253×654－42＝44.4，与计划误差为5.1.由上可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y(万辆)与第x年的关系．归纳升华当一组数据所对应的拟合函数关系不确定时，可根据题设条件，将这几个拟合函数求出来，再根据题中的其他条件，对这几个拟合函数的可靠性作出评估，选出拟合性更好的函数．[变式训练]某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一个函数用于根据当月评价分数x(正常情况0≤x≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y元，要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低、越高人数要越少，则下列函数最符合要求的是()A．y＝(x－50)2＋500B．y＝10x25＋500C．y＝11000(x－50)3＋625D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]解析：由题意知：拟定函数应满足①是单调增函数，且先慢后快；②在x＝50左右增长缓慢，最小值为500；A中，y＝(x－50)2＋500是先递减后增加，不符合要求；B中，y＝10x25＋500是指数函数类型，是增长越来越快的，不符合要求：C中，y＝11000(x－50)3＋625是由y＝x3平移和伸缩变换得到的，符合题目要求；D中，y＝50[10＋lg(2x＋1)]是对数函数类型，增长速度越来越慢，不符合要求．答案：C类型3建立拟合函数解决实际问题(规范解答)[典例3](本小题满分12分)某个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额/万元123456获纯利润/万元0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额/万元123456获纯利润/万元0.300.590.881.201.511.79该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．审题指导：由已知数据作出散点图，根据散点图选择函数模型，用待定系数法求出函数模型，再根据所求模型解决问题．[规范解答]以投资额为横轴，纯利润为纵轴，在平面直角坐标系中画出图象，如图所示．(2分)失分警示：作散点图是解决问题的基础，从散点图可以看出要选择的函数模型．由图(1)可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．设y＝a(x－4)2＋2，失分警示：这里二次函数模型和下面的一次函数模型的求解，用的是待定系数法．再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.(5分)B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟．设y＝kx＋b，取点(1，0.30)和(4，1.20)代入，得0.3＝k＋b，1.2＝4k＋b，解得k＝0.3，b＝0.所以y＝0.3x.(8分)设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12－x)万元，总利润为W万元，那么W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)．所以W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.(10分)当x＝3时，W取最大值，约为4.55万元，此时B商品的投资为9万元．(11分)故该经营者下个月把12万元中的3万元投资A种商品，9万元投资B种商品，可获得最大利润，约为4.55万元．(12分)失分警示：这一步的结论必不可少.归纳升华1．对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．2．函数拟合与预测的一般步骤是：(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据．[变式训练]为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度xcm与当年灌溉面积yhm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示．年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积yhm2随积雪深度xcm变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25cm，则可以灌溉土地多少公顷？解：(1)描点作图如图甲：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b.取其中的两组数据(10.4，21.1)，(24.0，45.8)，代入y＝ax＋b，得21.1＝10.4a＋b，45.8＝24.0a＋b，