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北航研究生数理统计课后答案完全版北京航空航天大学研究生应用数理统计书后部分习题解答整理版第2页/第23页1.09.01}16)3.0({1}09.044.1)3.0({}44.1{101210121012iiiiiixPxPxP3.(P34.23)已知)(~ntX,试证),1(~2nFX。证明:由)(~ntX,设nBAX/,其中)1,0(~NA,)(~2nB。则nBAnBAX/1//222,其中)1(~22A,)(~2nB,故),1(~2nFX。4.(P34.27)设总体),(~2NX,1x,2x,…,nx为其样本,x及2S分别为样本均值及方差,又设),(~21Nxn,且与1x,2x,…,nx相互独立,试求统计量11nnSxxn的抽样分布。解:由正态分布的特性可得),(~2nNx,),(~21Nxn,).1(~)1(222nSn则有),1,0(~21nnNxxn从而).1,0(~11Nnnxxn又nnxxn11与22)1(nSn相互独立,从而).1(~)(1)1()1(11221ntSxxnnnSnnnxxnn北京航空航天大学研究生应用数理统计书后部分习题解答整理版第3页/第23页即)1(~nt.5.(P35.28)设1x,2x,…,mx和1y,2y,…,ny分别是从),(21N和),(22N总体中抽取的独立样本,和是两个实数,试求nmnmSnSmyxnm222221212)1()1()()(的抽样分布。其中x,21mS和y,22nS分别为1x,2x,…,mx和1y,2y,…,ny的样本均值及样本方差。解:由已知可知,),(~21mNx,),(~22nNy,)1(~)1(2221mSmm,)1(~)1(2222nSnn,于是有,),0(~)(221mNx,),0(~)(222nNy,则))(,0(~)()(22221nmNyx,)2(~)1()1(2222221nmSnSmnm,于是有,)2(~)2/())1()1(()()()(22222122221nmtnmSnSmnmyxnm,即)2(~2)1()1()()(22222121nmtnmnmSnSmyxnm。6.(P80.1)设总体X服从两点分布),1(B,10,1x,2x,…,nx为简单随机样本,⑴求)()(xVarq;⑵求)(q的频率估计。北京航空航天大学研究生应用数理统计书后部分习题解答整理版第4页/第23页解:⑴由niixnx11,则)1(1)1(1)(1)1()(2121nnnxVarnxnVarxVarniinii。⑵因为总体X服从两点分布),1(B,则参数的频率估计为xnxnii1,于是)(q的频率估计)1(1ˆxxnq。7.(P80.2)设总体X服从正态分布)1,(N,1x,2x,…,nx为简单随机样本,在这n个样本观测值中仅知道事件}0{X发生m次,求的频率替换估计。解:由题意)1,0(~NX,则)(1}{1}{}{}0{XPXPXPXP,而由频率nmXP}0{,则有,nm-1)(于是有,nmz1ˆ。8.(P80.5)设总体X服从的概率密度函数为其他,01,)1(210,21),(xxxf,其中,10,是未知参数,1x,2x,…,nx为来自总体的简单样本。试求参数的矩估计ˆ。解:421)1(4141)1(21)1(212121)1(2121)(2210xdxxdxXE北京航空航天大学研究生应用数理统计书后部分习题解答整理版第5页/第23页做矩估计,421x,可得的矩估计,212ˆx。9.(P80.7)解:(1)由分布函数得出概率密度函数101);(();(1xxxdxxFdxf1);()(111dxxdxxxdxxxfXE令1X,得1xx(2)的似然函数是其它0min)1()(111nnnxxxxL对数似然函数是niixnL1ln)1(ln)(ln0ln)(ln1niixnL解得niixn1ln10.(P81.8)北京航空航天大学研究生应用数理统计书后部分习题解答整理版第6页/第23页解:)(ttxPtxP又因为参数2,的极大似然估计是niiXXnX122)(1,所以txP的极大似然估计是xt11.(P81.9)设X为电子元件的失效时间(单位:小时),其密度函数为00)(,00,),(0xxxxexfxx抽取n个该电子元件,独立进行测试,失效时间分别为1x,2x,…,nx。⑴当0x已知时,求的极大似然估计;⑵当已知时,求0x的极大似然估计。解:⑴似然函数为niixxnnexxxL10)(21),,,;(,00xxi(ni,,21,)则有niixxnL10)(ln)(ln令0)(ln01nxxnLnii,得00nxxnn于是,的极大似然估计01ˆxx。⑵似然函数),,,;()()(210010xxnnxxnneexxxxLnii,00xxi(ni,,21,)当已知时,为0x的单调递增函数,于是由极大似然估计定义可知,北京航空航天大学研究生应用数理统计书后部分习题解答整理版第7页/第23页0x的极大似然估计为}{minˆ0iixx。12.(P81.11))设总体X的概率密度函数为212211),;(xexf,x1-,2-,1x,2x,…,nx为来自总体的简单样本,求参数1及2的极大似然估计。解:由),;(21xf为概率密度函数可知,02。似然函数为),,,;,(2121nxxxL)(221212111xnnxneenii,ix1(i)由02,则似然函数为1的单调递增函数,且ix1-(i),由极大似然估计定义可知,1的极大似然估计为}{minˆ1iix。对2,)(ln-)(ln12221xnnL,,令0)(-ln12222xnnL,得到12x,于是2的极大似然估计为}{minˆˆ12iixxx。13.(P81.12)1x,2x,…,nx为来自总体X的简单样本,试证明下列估计量32112110351ˆxxx32122154131ˆxxx32132114331ˆxxx都是总体均值)(XE的无偏估计,并求出每个估计的方差,问哪个估计较优?证明:对于32112110351ˆxxx有).()(21103512110351ˆ3211XEXEXXXEE同理可得).(ˆˆ32XEEE故统计量1ˆ,2ˆ,3ˆ都是总体均值)(XE的无偏估计。北京航空航天大学研究生应用数理统计书后部分习题解答整理版第8页/第23页而22222183.02110351ˆD,222222473.02154131ˆD,.681.01214331ˆ222223D统计量2ˆ的方差最小,故2ˆ较优。14.(P82.13)设总体X的概率密度函数为xxexfx,0,2),()(2,其中(10)是未知参数,1x,2x,…,nx为来自总体X的简单样本,令}{minˆ1knkx,问ˆ作为的估计是否具有无偏性。解:}{minˆ1knkx的分布函数为nxFxPxPxF))(1(1}ˆ{1}ˆ{)(ˆ,其中)(xF为X的分布函数。关于x求导可得ˆ的密度函数,xxnexxedtenxfxFnxfxnxnxtn,0,2,02)21()())(1()()(2)(21)(21ˆ,于是,ndxnexExn212)ˆ()(2故ˆ作为的估计不具有无偏性。15.(P82.14)设1x,2x,…,nx为来自正态总体),(2N的简单样本,⑴求c,使nkkxc11ˆ为的无偏估计;⑵求c,使11212)(1ˆnkkkxxc为2的无偏估计。北京航空航天大学研究生应用数理统计书后部分习题解答整理版第9页/第23页解:⑴由题意知,),0(~2Nxk,则)1,0(~Nxyk积分可以求得2|)(|yE,所以2|)(|)ˆ(cnxEcnEk,要使nkkxc11ˆ为的无偏估计量,则必有2)ˆ(cnE,故c的取值应为2nc。⑵依题意可知,2221111111221111111ˆ12nniiiiiinnniiiiiiiEEXXEXXccEXXXXc12211211112121,niiiEnnEXEXccnc要使2ˆ为2无偏估计量,则必有2221ˆ21Enc,故c的取值应为21.cn16.(P82.15)设1x,2x,…,nx为来自正态总体),(2N的简单样本,其中,2是未知参数。若用221ˆxsn作为2的估计,试证2ˆ是2的一致最小方差无偏估计。证明:北京航空航天大学研究生应用数理统计书后部分习题解答整理版第10页/第23页222222211ˆ11EExsExEsnnnn222222222221exp2212exp221expexp222XfXXXXX,,令2212,,,22212ce,1hx,则211,nniiiiXX为完全统计量。且222211111ˆ11nniiiixsxxnnnnn为1niix和21niix的函数所以2ˆ为2的UMVUE.17.(P83.21)解:由题意知,)1()1((XXcE且1)1()1()11))1(1())1()(1())()(()()()1((2121222nnccnnccxnExVarnccXEXVarccXcEXcEXXcEniinii解得(又因为niix1是完全充分统计量,)1(1XXnn是它的函数,所以1nnc时,结
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