高数(工)1、A1测试卷(函数、极限、连续)解答

第1页共5页上海应用技术学院2012—2013学年第一学期《高等数学（工）1、A1》测试卷（函数、极限、连续）解答一．单项选择题（每小题2分，共10分）1．对31202coslimxxx，下列说法正确的是（A）．A．等于0B．等于32C．为无穷大D．不存在，但不是无穷大2．当0x时，下列函数为无穷小量的是（C）．A．xxxcosB．xxsinC．xx2sin2D．121x3．设2110021)(2xxxxxxxf则)(xf在（C）．A．1,0xx处都连续B．1,0xx处都间断C．0x处间断，1x处连续D．0x处连续，1x处间断4．,11)(11xxeexf点0x是)(xf的（B）．A．.可去间断点B．.跳跃间断点C．无穷间断点D．.连续点5．设()fx在,上连续，,ab为任意常数，且ab，则()fx必能取到最大值和最小值的区间是（D）．A．,B．[,)abC．(,]abD．[,]ab二.填空题（每小题3分，共15分）6．0131limsin2xxx34．7．设2limxxxkex，则k12．第2页共5页8．当0x时，12axe与)31ln(xx是等价无穷小，则常数a3．9．设102cos()2cossin0xxfxxkxxx在点0x处连续，则k2．10．在区间3(0,)2内，函数2cos()65sinxfxxxx的间断点个数为4．三．计算题（每小题7分，共56分）11．求极限lim(1)[ln(1)ln]nnnn．解：lim(1)[ln(1)ln]nnnn11limln1nnn．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）11lnlim11nnnn．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）ln1e．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）12．已知limnnu存在，且222limnnnunnnu，试求nnulim．解：设limnnuA2lim22nAnnnA．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）而222222lim2lim2nnnnnnnnnnnnnn．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）2lim1211nn．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）12AA，即得lim1nnuA．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）13．求极限3211lim2xxxx．解：3211lim2xxxx21(1)(1)lim(1)(2)xxxxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）第3页共5页211lim2xxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）2(1)(1)1112．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）14．求极限302sinsin2limxxxx．解：302sinsin2limxxxx302sin(1cos)limxxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）230122limxxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）15．求极限251lim32xxxx．解：251lim32xxxx511lim23xxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(4分)51lim12lim3xxxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(5分)13．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）16．求极限01coslim(1)(11)xxxex．解：当0x时，211cos2xx，1xex，1112xx．．．．．．．．．．．．．．．．．(3分)01coslim(1)(11)xxxex2012lim12xxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(5分)1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(7分)第4页共5页17．已知11()xxfxx，试补充定义)0(f，使得)(xf在0x处连续．解：为了使)(xf在0x处连续，必须满足0lim()(0)xfxf．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）0011lim()limxxxxfxx01111lim11xxxxxxxx．．．．．．．(3分)02lim111xxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）所以应补充定义(0)1f，就能使得)(xf在0x处连续．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）18．讨论函数221()32xfxxx间断点的类型．解：函数)(xf的间断点为1x，2x．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）2211111lim()limlim2322xxxxxfxxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）2222211lim()limlim322xxxxxfxxxx．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）所以，1x是函数)(xf的可去间断点，2x是函数)(xf的无穷间断点．．．．．．．．（7分）四．综合题（第19题9分，第20题10分）19．设函数1)(ln3)(2bexabxxf30xeexex，试确定a和b，使)(xf在(0,3]连续．解：为了使)(xf在(0,3]连续，只要使)(xf在xe处连续，即满足lim()()xefxfea．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）lim()lim3ln3xexefxxbb．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）2lim()lim11xexefxxebb．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）由lim()()xefxfea31bba．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）第5页共5页2a，1b．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）20．设函数)(xf与)(xg都在]1,0[上连续，且)0()0(gf，)1()1(gf，试证明曲线)(xfy与曲线)(xgy在)1,0(内一定有交点．证明：设)()()(xgxfxF，则)(xF在1,0上连续，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(3分)0)0()0()0(gfF，0)1()1()1(gfF．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．(5分)0)1()0(FF，根据零点定理，至少存在)1,0(，使0)(F，．．．．．．．．．．(8分)即)()(gf，因此，曲线)(xfy与曲线)(xgy在)1,0(内一定有交点．．．．．（10分）