等差数列及其前n项和学案

1等差数列及其前n项和2013.10命制人：刘晓琳1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题．2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用．二、知识梳理1．等差数列的定义如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母表示．2．等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝3．等差中项如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且*2(,,,,)klmntklmntN，则_________________klaa。(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；S奇/S偶=若n为奇数，则S奇－S偶＝．S奇/S偶=5．等差数列的前n项和公式Sn＝＝6．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝d2n2＋a1－d2n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．7．最值问题在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最值．1．(人教A版教材习题改编)已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()．A．4B．5C．6D．72．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于()．A．31B．32C．33D．343．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()．A．1B．9C．10D．554．(2012·杭州质检)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()．A．13B．35C．49D．635．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________.6．①61451515333aaa，求，；②da和，求＝，1128168S48S；③8856510SaSa和，求，；④3116S3，求a.四、例题精选考向一等差数列通项公式和基本量的计算【例1】►(2011·福建)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．一、复习要求三、基础训练2【训练1】（1)在等差数列{}na中，（1）已知120,54,999,nnaas求d和n；（2）已知2,15,10,ndna求1a和ns。【训练1】(2)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为_____升．考向二等差数列的性质及其应用【例2】►等差数列{}na中，1030a，2050a，则通项na；【训练2】等差数列an中,15608,20,aa则75a=。【例3】►1、(2010年高考全国）如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa（A）14（B）21（C）28（D）352、若一个等差数列前三项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有项。3、设等差数列{}na、{}nb的前n项和分别为nS、nT，若528nnSnTn，则1010ab；4、等差数列na的前n项和为Sn，若,100,302nnSS则nS3（）A.130B.170C.210D.2605、已知等差数列na中，26a，515a，若2nnba，则数列nb的前5项和等于（）A．30B．45C．90D．1866、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为【训练3】1、在等差数列{na}中，162,aa是方程2610xx的两根，则5691213aaaaa．2、设等差数列na的前n项和为nS，若972S,则249aaa=。3、已知na是等差数列，1010a，其前10项和1070S，则其公差d（）A．23B．13C．13D．234、在等差数列{}na中，若46101290aaaa，则101413aa。5、设nS表示等差数列{}na的前n项和，且918S，240nS，若4309nan（），则n=.6、等差数列{na}前n项和为nS。已知1ma+1ma-2ma=0，21mS=38,则m=_______7、设等差数列{}na、{}nb前n项和分别为nS、nT，且122nnbann，则1212nnTS＿。8、设两个正项等差数列{}na、{}nb的前n项和分别为为nS、nT，若231nnSnTn，则57ab.9、已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（）A．2B．3C．4D．510、设等差数列na的前n项和为nS，若535aa则95SS.11、设等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（）3A．63B．45C．36D．2712、等差数列{an}的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.考向三等差数列前n项和的最值【例4】►1、已知数列{an}中an=-n+13,(nN+)其前n项和nS的最大值为．2、在等差数列{}na中，已知1a＝20，前n项和为nS，且1510SS＝，求当n取何值时，nS有最大值，并求出最大值.3.等差数列na前n项和为ns，若16170,0ss，则当n=___________时，ns最大.4、等差数列}{na的公差,0d且21121aa，则数列}{na的前n项和nS取得最大值时的项数n是A．5B．6C．5或6D．6或75、已知数列}{na为等差数列，若11101,aa且它们的前n项和nS有最大值，则使得0nS的n的最大值为A.11B.19C.20D.21.【训练4】1、设数列}{na是等差数列，且62a，68a，nS是数列}{na的前n项和，则（A）54SS（B）54SS（C）56SS（D）56SS2、已知等差数列{an}满足4a4=7a7,且a10,Sn是{an}的前n项和，Sn取得最大值，则n=_____3、已知nS是等差数列{}()nanN的前n项和，且675SSS，有下列四个命题：⑴0d；⑵110S；⑶120S；⑷数列nS中的最大项为11S，其中正确命题的序号是.4、若{}na是等差数列，首项120032004200320040,0,.0aaaaa，则使前n项和0nS成立的最大自然数n是：（）A．4005B．4006C．4007D．4008【例5】►已知数列{an}中an=2n-7,(nN+),1a+2a+--+15a=____【训练5】已知数列{an}的前n项和Sn=12n－n2，求数列{|an|}的前n项和Tn.考向四等差数列的定义与判断【例6】►1、（2013辽宁）下面是关于公差0d的等差数列na的四个命题:1:npa数列是递增数列；2:npna数列是递增数列；3:napn数列是递增数列；4:3npand数列是递增数列；其中的真命题为(A)12,pp(B)34,pp(C)23,pp(D)14,pp2、若Sn是数列{an}的前n项和，且,2nSn则}{na是（）（A）等比数列，但不是等差数列（B）等差数列，但不是等比数列（C）等差数列，而且也是等比数列（D）既非等比数列又非等差数列【训练6】1、若{an}、{bn}都是等差数列，且a1=5,b1=15,a100+b100=100，则数列{an+bn}的前100项之和S100等于：（）A、6000B、600C、5050D、600002、在数列{}na在中，542nan，212naaaanbn，*nN,其中,ab为常数，则ab3、设{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列nSn的前n项和,求4Tn.五、巩固练习1、首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是A、d83B、d3C、83≤d3D、83d≤32、设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaa（）A．120B．105C．90D．753、（2012年重庆理））在等差数列}{na中,5,142aa,则}{na的前5项和5S=A．7B．15C．20D．254、设等差数列{}na的前项和为nS，若39S，636S，则789aaa5、方程0)2)(2(22nxxmxx的四个根组成一个首项为41的等差数列，则|m－n|＝6、设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaaA．120B．105C．90D．757、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若1OaB＝200OAaOC＋，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（）A．100B.101C.200D.2018、设等差数列}{na的前n项和为1413121184,20,8,aaaaSSSn则若（）A．18B．17C．16D．159、已知等差数列na满足244aa，3510aa，则它的前10项的和10SA．138B．135C．95D．2310、已知{}na是等差数列，124aa，7828aa，则该数列前10项和10S等于A．64B．100C．110D．12011、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差A.12B．1C．2D．312、设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若36SS＝13，则612SS＝（）A．310B．13C．18D．1913、一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为225，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是（）A．3B．4C．5D．614、在等差数列811162naaa中，，则数列前9项之和9S等于（）A．24B．48C．72D．10815、已知等差数列30,240,18,}{49nnnnaSSSna若项和为的前，则n的值为A．18B．17C．16D.1516、在等差数列nnSaaa设中.33,1,}{102为数列}{na的前n项和，10202SS的值等于A．40B.400C．20D．20017、已知数列}{na、}{nb都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a、1b，且511ba，*11,Nba．设nbnac（*Nn），则数列}{nc的前10项和等于（）A．55B．70C．85D．10018、已知{an}为等差数列，前10项的和S10=100，前100项的和S100=10，求前110项的和S110.