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巧用向量方法求解决最值问题在中学数学中,对某些代数式的最值问题通常使用凑配技巧(如配方法)求解,现在高中数学增加了向量内容,我们使用向量方法求解最值问题,特别是一些无理式的最值问题,可以大大简化解题过程,提高解题效率,收到事半功倍的效果。如果设向量,,则与的数量积为:,从而有:(1),当且仅当与同向同号时取等号(2),即,当且仅当与同向同号时取等号。完全类似地,设向量,,则与的数量积为:,从而也有:(1),当且仅当与同向同号时取等号;(2),即,,当且仅当与同向同号时取等号。在求解某些初等代数最值问题时,根据条件和结论的特点,将其转化为向量形式,利用向量的数量积,往往能避免繁杂的凑配技巧,使解答过程直观又易接受,下面简单介绍几种求解的方式方法:1、用向量求未知数,满足整式方程的代数式的最值。例1:已知实数满足方程,求的最值。解:由得设:,则,即2、用向量求未知数满足三元一次方程及三元二次方程的最值。例2:已知实数满足方程即,问的最小值解:原方程可化为,设:,即的最大值为3,最小值为3、用向量求未知数满足整式方程的分式方程的值。例3:已知实数满足方程,求的最值。解:设,则设,即:4、用向量求无理函数的值域。例4:求已知函数的值域。解:由且可知,设,即:5、用向量求未知数满足分式方程的代数式的最值。例5:已知实数满足方程,求的最值。解:设,6、用向量求使整式为最值的未知数的值。例5:求实数的值,使得达到最小值。解:设,由知当且仅当时成立,即:,时,等号成立。7、用向量求未知数满足分式方程的分式的最值。例7:已知且,求的最大值解:由知设,当且仅当时等号成立。8、用向量求无理式的最值。例8:如果,那么的最大值是多少?解:设,由知:当且仅当时,等号成立。9、用向量求满足二次方程的函数的取值范围。例9:如果,,则的取值范围是多少?解:设,;由知:
本文标题:巧用向量方法求解决最值问题
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